Архив рубрики: Звавич 8-11

Решебник на Звавич: билеты для экзамена

Примерные билеты к устному экзамену
Билет 1
1. Параллельность прямых в пространстве. Теоре¬ма о двух прямых, параллельных третьей.
2. Расстояние в пространстве. Геометрические мес¬та точек, равноудаленных от двух точек, трех точек, двух плоскостей.
3. Задача по теме «Векторы в пространстве; ска-лярное произведение».
Билет 2
1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости.
2. Трехгранные и многогранные углы.
3. Задача по теме «Комбинации многогранников и тел вращения».

Билет 3
1. Перпендикулярность прямой и плоскости. При¬знак перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Задание сферы и шара в пространстве с по-мощью координат.
3. Задача по теме «Сечения многогранников».
Билет 4
1. Связь между параллельностью прямых и пер-пендикулярностью прямой и плоскости. Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпен-дикулярна плоскости.
2. Площадь боковой и полной поверхностей приз¬мы и цилиндра.
3. Задача по теме «Координаты в пространстве; уравнения плоскости и сферы».
Билет 5
1. Взаимное расположение двух плоскостей. При¬знаки параллельности двух плоскостей.
2. Прямая в координатах в пространстве.
3. Задача по теме «Вписанный шар, описанная сфера».
Билет 6
1. Свойства параллельных плоскостей. Теорема о единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно другой плоскости.
2. Площади боковой и полной поверхностей пира¬миды и конуса, в том числе усеченных.
3. Задача по теме «Комбинации многогранников».

Билет 7
1. Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
2. Площадь ортогональной проекции многоуголь¬ника.
3. Задача по теме «Площадь поверхности сферы, объем шара».
Билет 8
1. Свойства перпендикулярных плоскостей. Теоре¬ма о линии пересечения двух плоскостей, перпенди¬кулярных третьей плоскости.
2. Параллельный перенос и его свойства.
3. Задача по теме «Шар».
Билет 9
1. Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о трех перпендикулярах (две теоремы).
2. Правильные многогранники. Формула Эйлера (без вывода).
3. Задача по теме «Объем конуса, усеченного ко-нуса».
Билет 10
1. Углы между двумя прямыми в пространстве. Теорема об углах с сонаправленными сторонами.
2. Теорема Гюльдена. Площадь поверхности сферы (с доказательством). Площадь сферической поверхно¬сти сферического сегмента (без доказательства).
3. Задача по теме «Объем призмы».

Билет 11
1. Взаимное расположение двух прямых в про-странстве. Признаки скрещивающихся прямых.
2. Векторы в пространстве. Действия над вектора¬ми (кроме скалярного произведения). Координаты векторов.
3. Задача по теме «Цилиндр, конус».
Билет 12
1. Расстояние между двумя точками, заданными своими координатами. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.
2. Описанная около многогранника сфера. Распо¬ложение ее центра (на примере сферы, описанной около призмы).
3. Задача по теме «Призма, параллелепипед, куб».
Билет 13
1. Скалярное произведение векторов и его свойства.
2. Построения в пространстве. Построение плос-кости, перпендикулярной прямой и проходящей че-рез данную точку; построение прямой, перпендику-лярной плоскости и проходящей через данную точку.
3. Задача по теме «Объем пирамиды».
Билет 14
1. Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве. Теорема о сечении сферы плоскостью.
2. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур на плоскости (треугольник, па-раллелограмм, трапеция, тетраэдр, параллелепипед).
3. Задача по теме «Боковая и полная поверхности пирамиды».

Билет 15
1. Сечение пирамиды плоскостями, параллельны¬ми основанию. Теорема об отношении периметров и площадей сечений пирамиды плоскостями, парал¬лельными основанию.
2. Поворот вокруг прямой в простргшстве и его свойства. Фигуры вращения.
3. Задача по теме «Угол между двумя плоскостя-ми, двугранный угол».
Билет 16
1. Теорема о разложении вектора по трем некомпла¬нарным векторам. Векторный базис в пространстве.
2. Пирамида. Виды пирамид. Усеченная пирамида.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в про-странстве: угол между прямой и плоскостью».
Билет 17
1. Задание пространственных фигур уравнениями и неравенствами. Уравнение плоскости.
2. Центральная симметрия в пространстве и ее свойства. Примеры центральносимметричных про-странственных фигур.
3. Задача по теме «Пирамида».
Билет 18
1. Вывод формулы расстояния от точки до плоскос¬ти в координатах.
2. Призма. Виды призм.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в про-странстве: угол и расстояние между прямыми».

Билет 19
1. Вычисление объемов фигур вращения (с по-мощью интеграла). Вывод формулы для вычисления объемов конуса, шара.
2. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Теорема о равенстве всех линейных углов дан¬ного двугранного угла.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в про-странстве: расстояние между точками и от точки до прямой ».
Билет 20
1. Вывод формулы для вычисления объема пира¬миды.
2. Симметрия относительно плоскости. Ее свойства.
3. Задача по теме «Прямые и плоскости в про-странстве: расстояние от точки до плоскости».

Примерные задачи к устному экзамену
1. В прямоугольной декартовой системе координат заданы векторы а{2; 1; -1} и Ь{1; 2; -1}. Найдите коор¬динаты вектора с, если с J. а, с ± Ь, |с| = 2л/11, а угол между с и осью Ох тупой.
2. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, АВ = ву, АС = Cg. AlD — Cg. Точка О — центр треуголь¬ника АВС; точка Р лежит на ребре BD, а точка L — на ребре АС, причем ВР : PD = 2 : 1, AL : LC = 1 : 2. Най¬дите LB • OD.
3. Шар касается всех ребер пирамиды MNKP. До¬кажите, что MN + КР = МК + NP = МР + KN.
4. Около шара описана правильная треугольная призма, а около призмы описан шар. Найдите отно-шение площадей поверхностей этих шаров.
5. В правильной треугольной пирамиде, сторона основЕшия которой равна а, а боковое ребро равно За, проведено сечение параллельно боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если оно является ромбом.
6. Постройте сечение куба ABCDAyByCyDy, прохо¬дящее через точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно прямым АБу и ВК (К — середина ребра ССу). Найдите площадь сечения, если ребро ку¬ба равно а.
7. Найдите расстояние между плоскостью 2х — 2у — — 2 -Ь 3 = О и точкой А(0; 2; 2), а также угол между этой плоскостью и прямой ОА, где О — начало координат.
8. На плоскости х + 2у -\- 3z = 2Ъ найдите точку, наименее удаленную от точки А(2; -3; 5).
9. В треугольной пирамиде ABCD АС = 4, ВС = 3, ZACB = 90°. Ребро АВ длиной 12 перпендикулярно

плоскости ABC. Найдите радиус описанной около пи-рамиды сферы.
10. Найдите боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды со сторонами оснований а и &, если в пирамиду можно вписать шар.
11. Найдите отношение объемов параллелепипеда ABCDAyByCyDy и треугольной пирамиды BDCyAy.
12. Центры тяжести граней треугольной пирами-ды являются вершинами многогранника. Найдите от-ношение объемов пирамиды и многогранника.
13. В правильной призме ABCDAyByCyDy ребро АВ равно а, угол между ребрами АВу и DB равен а. Най¬дите площадь поверхности шара, проходящего через точки В, By, Су иАу.
14. В полушар вписан цилиндр наибольшего объ-ема. Найдите отношение объема этого цилиндра к объему полушара.
15. В куб ABCDAyByCyDy вписан шар радиуса R. Найдите площадь сечения шара плоскостью ADyC.
16. Вершина А куба ABCDAyByCyDy является цент¬ром сферы, а вершина Dy лежит на этой сфере. Най¬дите длину линии пересечения сферы и поверхности куба, если ребро куба а. Сделайте чертеж.
17. Высоту конуса разделили на пять равных час-тей и через каждую точку деления провели плос-кость, параллельную основанию. Объем части, заклю-ченной между вторым и третьим сечениями, равен V. Найдите объем конуса.
18. Образзчощая усеченного конуса наклонена к плоскости основания под углом 60°, а центр большего основания равноудален от меньшего основания и боко¬вой поверхности конуса. Найдите объем усеченного ко¬нуса, если площадь его боковой поверхности равна 2я.
19. Объем треугольной призмы АВСА^В^С^ равен V, а длина ее бокового ребра равна а. На прямой ААу взят отрезок MN длины Ъ. Найдите объем пятигран-

кика MNBCCyBу (его ребра MN, СуС, ВуВ, ВуСу, ВС, МВу, МСу, NB, NC).
20. Все ребра треугольной призмы касаются шара радиуса R. Найдите объем призмы.
21. Даны две параллельные плоскости, расстояние между которыми равно х. Между ними расположен конус с образующей 25 см и радиусом основания 7 см так, что на каждой плоскости есть хотя бы одна точка конуса, а вне плоскостей таких точек нет. Найдите все возможные значения х.
22. Через точку М, лежащую в плоскости основа-ния цилиндра с радиусом основания 3, высотой 3 и удаленную от оси цилиндра на расстояние 7, проведе¬ны всевозможные прямые, имеющие с цилиндром единственную общую точку. Какие значения может принимать длина отрезка такой прямой от точки М до общей точки прямой и цилиндра?
23. Диагонали АВ^ и DCy граней четырехугольной призмы ABCDAyByCyDy параллельны. Докажите, что прямые ADj и ВСу также параллельны.
24. Дан куб с ребром а. Второй куб получен поворо¬том первого на угол а (0° < а < 90°) вокруг ребра. Определите объем общей части этих кубов.
25. Высоту пирамиды разделили в отношении 3 : 7, считая от вершины, и провели сечение, парал-лельное основанию. В каком отношении разделится объем пирамиды?
26. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 7, 15 и 20. Боковые ребра пирамиды имеют равные длины, а центр описанного около пирамиды шара удален от плоскости основания на расстояние
13
2jg . Найдите объем пирамиды.
27. Найдите двугранный угол при ребре основания правильной четырехугольной пирамиды, если плос¬

кость, проведенная через сторону основания, делит этот угол и боковую поверхность пирамиды пополам.
28. Основанием пирамиды, объем которой равен 4,8, является треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Най-дите площадь полной поверхности пирамиды, если ее высота составляет равные углы с боковыми гранями, а основание высоты лежит внутри основания пирамиды.
29. Основание пирамиды — правильный шести-угольник. Одно из боковых ребер пирамиды перпен-дикулярно плоскости ее основания и равно стороне шестиугольника. Найдите: двугранные зтглы при реб-рах основания пирамиды; углы наклона боковых ре-бер пирамиды к плоскости ее основания.
30. Боковое ребро правильной треугольной пирами¬ды составляет с плоскостью основания угол а (а < 45°). Найдите угол наклона плоскости, проходящей через сторону основания и центр описанного около пирами¬ды шара, к плоскости основания пирамиды.
31. Для правильного тетраэдра ABCD с ребром а определите расстояние от точки К — середины ребра АС — до плоскости BCD и угол между прямой КВ и этой плоскостью.
32. Бее ребра наклонной призмы ABCAj^Bj^Cj, осно¬вание которой — правильный треугольник, равны а. Точка Ау равноудалена от А, В и С. Найдите расстоя¬ние от вершины Ау до плоскости ВССу и угол, состав¬ленный с этой плоскостью прямой Aj^C.
33. В правильном тетраэдре ABCD точки К и L — середины ребер AD и ВС соответственно. Найдите угол между KL и высотой ССу треугольника ABC.
34. Объем пирамиды ABCD равен V. Найдите объем пирамиды KNBP, если В — середина АР, точка К лежит на ребре AD и АК : KD = 3, N — точка пере¬сечения медиан грани BCD.
9 Геометрия. 8—11 кл.

35. Два прямоугольных неравных друг другу тре-угольника ABD и CBD имеют по равному острому уг-лу а, общий катет BD = а и общую вершину прямого угла D. Найдите угол между прямыми АВ и CD и рас-стояние между ними, если плоскости ABD и CBD вза-имно перпендикулярны.
36. Найдите расстояния и углы между диагональю АСу куба ABCDAyByCyDy и каждой из скрещиваю¬щихся с ней диагональю граней этого куба, если реб¬ро куба равно 1.
37. Точка К — середина стороны AD квадрата ABCD со стороной а. Квадрат перегнули по прямой КС так, что образовался двугранный угол величиной 60°. Найдите расстояние между точками В RD.
38. Внутри двугранного угла величиной а (а < 90°) взята точка М, удаленная от граней двугргшного угла на расстояния а иЪ. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.
39. Квадрат ACMD и правильный треугольник ABC со стороной а расположены так, что двугранный угол M[AC)D равен 120°. Найдите расстояние от точ-ки В до плоскости квадрата и от точки М до плоскос-ти треугольника.
40. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDME. Найдите расстояние от плоскости SAB до каждой не лежащей на ней вершины пирамиды, если точка пересечения медиан грани SDM удалена от плоскости SAB на 8 см.

Решебник Звавич: подготовка к устным экзаменам

III. Подготовка к устным экзаменам
Примерные билеты к устному экзамену
Билет 1
1. Свойства равнобедренного треугольника, теоре¬ма о свойстве медианы равнобедренного треугольни¬ка, проведенной к основанию.
2. Зависимость между стороной правильного мно¬гоугольника и радиусами описанной и вписанной окружностей. (Вывод формулы.) Установление этой зависимости для квадрата, правильных треугольни¬ка, шестиугольника.
3. Задача по теме «Подобие треугольников».
Билет 2
1. Признаки равенства треугольников. (Доказа-тельство всех признаков.)
2. Деление отрезка на п равных частей, с обоснова¬нием.
3. Задача по теме «Вписанная окружность».

Билет 3
1. Пропорциональные отрезки в круге.
2. Вывод формулы для вычисления суммы углов выпуклого многоугольника.
3. Задача по теме «Метод координат».
Билет 4
1. Параллельные прямые (определение). Признаки параллельности двух прямых и доказательство этих признаков.
2. Нахождение гипотенузы, катета и острого угла прямоугольного треугольника по данным второму ка¬тету и острому углу.
3. Задача по теме «Углы в окружности».
Билет 5
1. Теорема об углах, образованных при пересече¬нии двух параллельных прямых третьей.
2. Вывод формулы S = i аЬ sin С.
3. Задача по теме «Правильные многоугольники».
Билет 6
1. Внешний угол треугольника (определение). Тео¬рема о внешнем угле треугольника. Сумма внешних углов п-угольника.
2. Нахождение значений синуса, косинуса и тан¬генса угла в 45°.
3. Задача по теме «Описанная окружность».

Билет 7
1. Геометрическое место точек. Теорема о геометри¬ческом месте точек, равноудаленных от двух данных точек, в геометрической и аналитической формах.
2. Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод формулы площа-ди кругового сектора.
3. Задача по теме «Трапеция».
Билет 8
1. Треугольник (определение). Теорема о сумме уг¬лов треугольника, прямая Эйлера (без доказательства).
2. Выражение расстояния между двумя точками через координаты этих точек (три случая).
3. Задача по теме «Комбинации окружностей».
Билет 9
1. Признаки равенства прямоугольных треуголь-ников (доказательства всех признаков).
2. Окружность (определение). Формула для вычис¬ления длины окружности (без вывода). Вывод форму¬лы длины дуги окружности.
3. Задача по теме «Площади многоугольников».
Билет 10
1. Признаки параллелограмма с доказательством.
2. Построение треугольника по трем сторонам.
3. Задача по теме «Окружность и многоугольник».
Билет 11
1. Параллелограмм (определение). Свойства парал¬лелограмма с доказательством (не менее четырех свойств).

2. Построение биссектрисы угла. Свойства биссект¬рисы угла треугольника.
3. Задача по теме «Элементы треугольника».
Билет 12
1. Прямоугольник (определение). Свойства прямо¬угольника (не менее двух свойств). Признаки прямо¬угольника.
2. Нахождение катета и острых углов прямоуголь¬ного треугольника по данным гипотенузе и другому катету.
3. Задача по теме «Пропорциональные отрезки в круге».
Билет 13
1. Определение ромба. Свойства и признаки ромба.
2. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой.
3. Задача по теме «Биссектриса внутреннего угла треугольника».
Билет 14
1. Теорема Менелая (прямая и обратная). Доказа¬тельство одной из них.
2. Вписанный четырехугольник.
3. Задача по теме «Задачи на построение».
Билет 15
1. Средняя линия треугольника и трапеции (опре¬деление). Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.
2. Построение окружностей, вписанной в треуголь¬ник и описанной около него.
3. Задача по теме «Дополнительные теоремы гео¬метрии».

Билет 16
1. Признаки подобия треугольников (доказатель¬ства).
2. Построение касательной к окружности (два слу¬чая).
3. Задача по теме «Прямоугольник, квадрат».
Билет 17
1. Вывод формулы S = |аЛд. Формула Герона (вывод).
2. Выражение координат середины отрезка через координаты его концов (рассмотреть различные слу-чаи).
3. Задача по теме «Векторы».
Билет 18
1. Вывод формул площади параллелограмма
S = ah^; S = gd^dg sin Z (dj; dg).
2. Вывод формул радиусов описанной и вписанной окружностей (для треугольника).
3. Задача по теме «Задачи на построение».
Билет 19
1. Трапеция (определение). Вывод формулы пло-щади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).
2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное рас¬положение прямой и окружности в координатах.
3. Задача по теме «Решение треугольников».

Билет 20
1. Теорема Пифагора (прямая и обратная).
2. Правильный многоугольник (определение). По¬строение правильных четырехугольника, пятиуголь¬ника, шестиугольника.
3. Задача по теме «Координаты на плоскости».
Билет 21
1. Теорема синусов.
2. Построение прямой, параллельной данной.
3. Задача по теме «Подобие».
Билет 22
1. Теорема косинусов.
2. Деление отрезка пополам (рассмотреть два спо¬соба).
3. Задача по теме «Комбинации окружности с раз¬личными фигурами».
Билет 23
1. Окружность Аполлония.
2. Вертикальные углы (определение). Свойства вертикальных углов. Смежные углы.
3. Задача по теме «Элементы треугольника».
Билет 24
1. Теорема Чевы (прямая и обратная). Доказатель¬ство одной из них.
2. Описанный четырехугольник.
3. Задача по теме «Прямоугольный треугольник».

Примерные задачи к устному экзамену
1. Одна из сторон треугольника равна 8, а два его угла — 30° и 45°. Найдите все возможные значения периметра треугольника.
2. Один из углов треугольника равен 150°, а две его стороны — 2 и 7. Найдите все возможные значения площади треугольника.
3. В треугольнике АВС углы А и. В равны соответ¬ственно 38° и 86°. Найдите углы треугольника, вер¬шинами которого являются точки касания сторон треугольника АВС со вписанной в него окружностью.
4. В треугольнике АВС AJ5 = с, АС = Ъ, ВС = а. Най¬дите длины каждого из шести отрезков, на которые разбивают стороны треугольника точки касания вне- вписанных окружностей.
5. Напишите уравнение всех прямых, отсекающих
п п
от окружности X + у =25 хорду длины 6.
6. Найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до вершин равносто-роннего треугольника равна квадрату периметра это-го треугольника.
7. В окружность вписан 11-угольник, одна из сто¬рон которого равна радиусу окружности, а остальные десять сторон равны между собой. Найдите углы 11-угольника.
8. На окружности с центром О взяты точки М иМ. Другая окружность вдвое меньшего радиуса касается первой в точке М и делит пополам отрезок ON. Най¬дите угол ONM.
9. Точка F лежит на стороне АВ правильного
восьмиугольника ABCDMNPQ так, что AF = 3 л/2,
FB = л/2 . Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны восьмиугольника.

10. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF равна S. Какая фигура образуется при пересечении треугольников АСЕ и BDF1 Найдите ее площадь.
11. В треугольнике ABC АВ = 2, ВС = 3 и угол ВАС в 3 раза больше утла ВСА. Найдите радиус описанной окружности.
12. В треугольнике ABC ZA = 45°, АВ = 7, АС =
= 4 «/2 . Найдите расстояние между центрами окруж-ностей, описанных около треугольников АСАу и ВААу, гдсАА^ — высота треугольника ABC.
13. Найдите длину отрезка, параллельного основа¬ниям трапеции (их длины равны а и &) и делящего трапецию на две равновеликие части.
14. Найдите площадь трапеции с боковыми сторо¬нами 13 и 20 и основаниями 6 и 27.
15. В круговой сектор с углом 60° помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора к площади круга.
16. Найдите площадь фигуры и длину границы фи¬гуры, являющейся общей частью двух кругов радиуса R, если расстояние между их центрами также равно R.
17. В треугольнике ABC точки А^, By и Су делят две стороны ВС, АС и АВ соответственно в отношениях: ВАу-.АуС = 3:7, АВу:ВуС = 1:3, АСу :СуВ = 1. Найди¬те отношение площадей треугольников ABC и АуВуСу.
18. В прямоугольнике ABCD AD: АВ = 5:3. На сторонах АВ, ВС, CD и DA выбраны точки Е, F, М и Р соответственно так, что АР : PD = 2:3, а EFMP — ромб. Найдите отношение площадей прямоугольника и ромба.
19. Высота ромба, проведенная из вершины его ту¬пого угла, делит сторону ромба в отношении 1 : 2, счи¬тая от вершины его острого угла. Какую часть площа¬ди ромба составляет площадь вписанного в него крута?

20. В равнобедренную трапецию с острым углом а вписана окружность. Какой процент площади трапе-ции занимает площадь четырехугольника с вершина-ми в точках касания?
21. Две медианы треугольника равны 3 и 4. В каких пределах может изменяться третья медиана? При ка¬ких ее значениях треугольник будет прямоугольным?
22. Две высоты треугольника равны 2 и 3. В каких пределах может изменяться третья высота треуголь-ника? При каких ее значениях треугольник будет прямоугольным?
23. Найдите расстояние от центра окружности ради¬уса 9 см до точки пересечения двух взаимно перпенди¬кулярных хорд, длины которых равны 16 см и 14 см.
24. В круговой сектор с углом 120° помещен круг, касающийся дуги сектора и обоих радиусов. Найдите отношение площади сектора к площади круга.
25. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки, длины которых равны 3 см и 5 см. В каких пределах может изменяться периметр тре-угольника?
26. Гипотенуза прямоугольного треугольника делит¬ся на отрезки 5 см и 12 см точкой касания вписанной в треугольник окружности. На какие отрезки делит ка¬тет треугольника биссектриса его меньшего угла?
7
2 2
а — Ъ + аЪ , где
а > Ь, если а и Ь — длины двух данных отрезков.
28. Постройте треугольник по трем точкам касания его сторон с вписанной в треугольник окружностью.
29. На сторонах ВС, АС и АВ треугольника ABC выбраны точки Ау, By, Су соответственно, причем от¬резки АЛ^, ВВу, ССу пересекаются в точке О. Докажи-

30. Точка Ау лежит на стороне ВС треугольника АВС так, что АуВ : АуС =1:3. Вершина А — середина отрезка МС. В каком отношении (считая от В) прямая АуМ делит сторону АВ?
31. Дан квадрат ABCD со стороной а. Вершины С, А и В являются серединами отрезков ВМ, ND и DF со-ответственно. Найдите радиус окружности, описан-ной около треугольника NFM.
32. Квадрат ABCD со стороной 8 см повернули во-круг его центра О так, что точка К, лежащая на сто¬роне АВ, где АК = 1, перешла в точку на стороне ВС. Найдите все возможные расстояния между точкой D и ее образом D’ при этом повороте.
33. Найдите угол между векторами а и &, если 1о| = 4, |2а-5Ь| = 17, (За + 2Ь)(2а — ЗЬ) = 42.
34. Дано: |о| = 5, |Ь| = 4, |а -Ь Ь| = 3. Найдите |а + 2Ь|.
2
35. Постройте отрезок —, где а и с — длины дан-ных отрезков.
36. По данным четырем отрезкам а, Ъ, с, d построй¬те трапецию с основаниями а иЪ. При каком соотно¬шении между длинами этих отрезков это возможно?
37. Найдите острые углы треугольника АВС, если
Z С = 90°, АС = 2 л/З , ВК — 1, где СК — высота тре-угольника.
38. В треугольник АВС вписана окружность; Су и By — точки ее касания со сторонами АВ и АС соответ¬ственно; АС у = 7, ВС у = 6, ВуС = 8. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника АВС ок¬ружностей.
39. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1; 4), В(-3; -1), С(2; -2).

40. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки описанной около правильного треуголь-ника окружности до трех его вершин постоянна и рав¬на удвоенному квадрату стороны этого треугольника.
41. Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб со стороной 6 см и углом 30° (сторона квадрата парал¬лельна диагонали ромба).
42. Нцйдите длину отрезка, параллельного основа¬ниям трапеции (их длины равны а и Ь) и делящего трапецию на два подобных четырехугольника.
43. Найдите площадь фигуры, ограниченной дуга¬ми трех попарно касающихся окружностей, радиусы
которых равны 1, 1 и л/2 — 1.
44. Круги, имеющие радиусы 1, б и 14, касаются друг друга. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого совпадают с центра-ми данных кругов.
45. Докажите, что биссектриса ААу треугольника
2АВ • АС cos 2
ABC вычисляется по формуле АА, = — „ —.
АЛ т АКУ
46. Докажите, что для медианы треугольника со сторонами а, Ь, с, проведенной к стороне а, выполня-
2 26^ + 2с^ —
ется соотношение т„ = .
а 4
47. Окружность, радиус которой равен 1, касается гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его обоих катетов. Найдите периметр треугольника.
48. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, CD — высота, а один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках ACD и BCD проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь треуголь¬ника ABC, если КР = 4.

Решебник Звавич 8-11 класс, часть 6

3. Координаты в пространстве
3.1. Найдите координаты вектора АВ, если извест-ны координаты точек А(3; 8; 7) и В(-1; 8; -3).
3.2. Найдите координаты точки М, если даны ко-ординаты точки N(-3; 3; 8) и вектора М£{1; 0; 5}.
3.3. Найдите координаты точки К, если даны коор¬динаты точки Р(3; -1; 5) и вектора КР{-8; 1; 7}.

3.4. Найдите все такие значения х, при которых векторы а{3; 5 — х; х} и &{5 + х; 7х + 1; 2} коллине¬арны.
3.5. Компланарны ли векторы а{1; 0; 3}, Ъ{-2; 5; 8} иё{0;5;14}?
3.6. Компланарны ли векторы а{1; 1; 0}, &{1; 0; 1} и с{0; 1; 1}?
3.7. Даны векторы а{1; 0; 0}, &{1; 1; ^ и е{1; 1; 1}. Разложите по данным векторам вектор m{3; -7; 11}.
3.8. Докажите, что точки А(3; 5; 1), В(-11; 26; -6) и С(13; -10; 6) лежат на одной прямой, и определите, какая из них лежит между двумя другими.
3.9. Лежат ли точки А(2; 1; 5), В(-1; 2; -2) и С(26; -7; 61) на одной прямой?
3.10. Лежат ли точки А(-1; 2; 5), В(7; 8; 3) и С(0; 1; 0) на одной прямой?
3.11. Найдите координаты такой точки С плоскос¬ти хОу, которая лежит на одной прямой с точками А(3; -8; 7) и В(-1; 2; -7). Какая из точек А, В, С ле¬жит между двумя другими?
3.12. Существует ли на оси Ог точка, лежащая на одной прямой с точками А(-1; 3; 5) и В(2; 2; 8)?
3.13. Даны векторы а{3; 8; -1} и &{1; -1; 2). Найди¬те координаты вектора m = За — 8Ь.
3.14. Известно, что m = 7а + 2Ь. Найдите коорди¬наты вектора а, если &{-1; 5; 3} и т{0; 1; 8}.
3.15. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(-1; 8; 3) и В(1; 5; 7).
3.16. Найдите координаты точек Mj, Mg, Mg, и Mg, делящих отрезок АВ соответственно в отношени-
ях Я = 1, Л = -3, Л = 5, Я = -i, Я = I, если А(0; -1; 3)
и В(5; 2; 8), Запишите эти точки по порядку на пря-мой в направлении АВ.

3.17. Даны точки А(3; 5; 6), В(4; 7; 8) и С(3; 8; 10). Найдите координаты точки пересечения медиан тре¬угольника ABC.
3.18. Точка М(0; 0; 3) делит отрезок АВ в отно¬шении Я = I. Найдите координаты точки А, если В(5; 8; -1).
3.19. Правильный тетраэдр ABCD с ребром 6 рас¬положен так, что центр треугольника ABC совпадает с началом координат, точка А лежит на оси Ох, точка D — на оси Ог. Найдите координаты вершин тетраэд¬ра, если абсцисса точки А, аппликата точки D и орди¬ната точки С положительны.
3.20. Начало координат совпадает с центром сферы радиуса 3. Найдите координаты всех точек сферы, удаленных от плоскостей хОу и уОг соответственно на 2 и 1.
3.21. Дана точка А(-1; 3; 8). Найдите расстояние от точки А до:
а) начала координат;
б) каждой из координатных плоскостей;
в) каждой из координатных осей;
г) точки В(1; 5; 7);
д) плоскости, все точки которой имеют апплика¬ту -8.
3.22. Найдите на оси Ог точку, равноудаленную от точек с координатами (-1; 3; 5) и (3; -7; 1).
3.23. Дана точка В(-1; 3; 8). Найдите координаты проекций точки Р на координатные плоскости и на координатные оси. Вершинами какого многогранни¬ка являются эти проекции вместе с точкой Р и нача¬лом координат О? Найдите объем и полную поверх¬ность этого многогранника.

Опишите множества точек А{х; у; г) пространства, для которых выполняются условия задач 3.24—3.37:
3.36. Даны точки А(3; 1; 5) и В(-2; 2; 4). Найдите все такие точки С на оси аппликат, что треугольник АВС — равнобедренный.
3.37. Даны точки А(-1; 3; 8) и В(-1; 2; 9). Найдите все такие точки С плоскости гОу, что треугольник АВС — равносторонний.
3.38. Даны точки А(2; -7; 4) и В(0; 3; 2). Найдите все точки С оси Oz такие, что треугольник АВС — прямоугольный.
3.39. Найдите четвертую вершину правильного тетраэдра ABCD, если А(0; 0; 4), Б(0; 4; 0), С(4; 0; 0).
4. Прямая в пространстве
4.1. Как расположены точки М(-1; 1; 2), N{3; 5; 8)
[x = -l + t,
и £(0; 3; 4) относительно прямой \y = \ + 2t,
\x = 2 + 2t?
4.2. При каких значениях а и Р точка М(1; 5; 8)
x = 3 + 2t.
3.24. у = 3.
3.25. X = у.
3.26. х = 2, 2 = 8.
3.27. х = у = г.
3.28. х^ + у2 + 2^ = 25;
3.29. х^ + 4у2 + 92^-2
3.30. |х| = 2.
2х’- 8у + б2 + 8 = 0.
3.32. х^ + у2 = 9.
3.34. х^ + у^ = 2^ 3.35. х^ — Зх + 2 = 0.
3.40. (х — 1)(у + 2)(2 — 5) = 0.
3.41. (X — if + (у + 2f + (2 — 5f = 0.
лежит на прямой < у = 7 — Ш,
, 2 = 8 + pt?

4.3. Напишите параметрические уравнения пря-мой, по которой пересекаются плоскости
4.4. Напишите параметрические уравнения каж-дой из прямых, по которым плоскость Зх + 8у + г = 11 пересекается с координатными плоскостями.
4.5. Напишите параметрические уравнения пря-мой АВ и найдите точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями, если А(-8; 1; 3) и
4.6. Напишите параметрические уравнения пря-мой, проходяш;ей через начало координат и деляш;ей пополам отрезок MN, если М(-3; 8; 1) и N{1; 0; 7).
4.7. Определите взаимное расположение прямой АВ и прямых, соответств5чощих осям координат, если
4.8. Напишите уравнения прямой, проходящей че¬рез начало координат и параллельной прямой
4.9. Напишите уравнения прямой, проходящей че-рез середину отрезка MN и параллельной оси орди-нат, если М(-3; 1; 5) и ЛГ(7; -1; -5).
4.10. Какому условию должны удовлетворять чис¬ла а и Р, чтобы прямые
2х + 3у-г = 6 и х + у + г = 1.
А(-1; 2; 4)иБ(8; 3; 6).
x = 2-t, y = 3 + 2t, z = 7t.
были взаимно перпендикулярны?
4.11. Найдите угол между прямыми

4.12. Найдите угол между осью аппликат и прямой
4.13. Напишите уравнения прямой, проходящей через точку М(1; 3; -2) и перпендикулярной оси ор-динат и прямой
4.14. Напишите уравнения прямой, проходящей через точку L(-l; 2; 3) и перпендикулярной оси абс¬цисс и прямой пересечения плоскостей
Зх + у + г- 4 = 0 и X + 2у — Зг = 0.
4.15. Найдите расстояние от точки А(3; -1; 1) до прямой
4.16. Определите взаимное расположение прямых
4.17. Определите взаимное расположение прямых
4.18. Определите взаимное расположение прямых
х = 2 + t, г = 2t.
x = 3-2t, y=7 + t,
2 = 1 — 5t.
x = l + 2t, y=7-8t, z = 5-4t.
x = 5 + 7t y = 2-t, 2 = 9

4.19. Определите взаимное расположение прямых
X = 3 + Ы, х = Ъ + и,
‘ у = l-t, и < у = 7 -Ъи,
2 = t [ 2 = и.
4.20. При каких значениях прямые
-ZQ + 2U
пересекаются?
4.21. Найдите геометрическое место таких точек
M(XQ; i/q; ZQ) пространства, что прямые
X = XQ + 2u,
ZQ-U
пересекаются.
4.22. Найдите все такие тройки чисел (а; Р; у), что
x = 2 + t, I X = 1 + 2а,
прямые \y = t, и \ у = Ра, пересекаются.
2 = -t I 2 = 5 — уа
4.23. Напишите уравнения прямой, проходящей через начало координат, пересекающей прямую
X = 2 — t,
• у = 3 + t,
Z = 5 — t
и перпендикулярной к ней.
4.24. На прямой
x = 3-t,
■ У = 2,
2 = 5+ 2t
найдите точку М такую, что прямая MN перпендику¬лярна данной прямой, если N(1; 1; 1).

4.25. Найдите расстояние от начала координат до
\x = 2 + t, прямой <y = 8-t,
\z = 2t.
4.26. Найдите расстояние от прямой
[ X =1 +
— y = 2-t,
I 2 = 3
до каждой из осей координат.
4.27. Задайте параметрически уравнение отрезка АВ, еслиА(1; 2;-1)иВ(0; 1; 3).
4.28. Найдите длину отрезка прямой
x = 2-3t,
■ y = 3 + 12t, tG [0; 1]. z = l-4t;
4.29. Напишите уравнения прямых, содержащих боковые ребра четырехугольной пирамиды с верши¬ной М(3; 8; 11), если ее основание лежит в плоскости X + у + Z — 8 = 0и каждая из вершин основания равно¬удалена от координатных плоскостей.
4.30. Напишите уравнения всех прямых, точки ко¬торых равноудалены от координатных плоскостей.
I X = 3 — 2t,
4.31. На прямой \y = t, найдите все точки,
1г = 3
равноудаленные от осей координат.
5. Уравнение плоскости
5.1. Даны точки А(3; 2; 5), В(-1; -2; 8), С(2; 1; 3), 0(0; 0; 0) и плоскость хН-Зу- 2- 4 = 0. Назовите:
а) точки, лежащие на данной плоскости;
б) точки, лежащие вне этой плоскости;
в) пары точек, лежащие по одну сторону от плос-кости.

5.2. Для каждой из данных плоскостей укажите ее взаимное расположение с координатными плоскостя-ми хОу, хОг, yOz и осями координат Ох, Оу, Ог (при¬надлежность, совпадение, пересечение, параллель¬ность):
а) X = 0;
б) у = 2;
в) 2х + Зу = 0;
г) Зу — Ъг = 0;
д) I/ + Зг — 5 = 0;
е) 2х + у — г + 3 = О,
5.3. Найдите точки пересечения осей координат с плоскостью 2х -I- Зу — г — 5 = 0.
5.4. Найдите все точки плоскости 5х + Зу — г ~ 2 = О, равноудаленные от координатных плоскостей.
5.5. Напишите уравнение плоскости, содержащей точку М(-3; 8; 5) и перпендикулярной вектору у{1;2;-7}.
5.6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку К(-2; 7; 1) и перпендикулярной вектору АВ, если А(-1; 2; 8) и Б(1; -1; 3).
5.7. Напишите уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка MN и перпендикулярной это-му отрезку, если М(-3; 1; 5) и iV(3; 9; -1).
5.8. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 2; 9) и параллельной плоскости 2х — Зу — г — 1 = 0.
5.9. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М(-1; 2; 7) и ЛГ(1; -3; 5) параллельно оси Оу.
5.10. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 3; 8) и N(2; 5; -1) перпендикулярно плоскости 2х — у + г = 0.

5.11. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 0; 3), Б(0; 1; -1) и С(-6; 2; 0).
5.12. Одно из оснований призмы лежит в плоскос¬ти 2х — Зу + 2 — 5 = 0. Напишите уравнение плоскос¬ти, в которой лежит другое основание, если одна из вершин призмы имеет координаты (8; 1; 0).
5.13. Уравнение плоскости Зх + 2у — б2 — 12 = О запишите как уравнение в отрезках.
5.14. Напишите уравнение плоскости, проходящей
через точки М(3; 0; 0), ЛГ(0; -5; 0) и X 0; 0; .
5.15. Найдите все такие значения параметра t, при которых точки A{Zt\ t — 2;3) и Б(2; 1; 5t + 3) лежат по разные стороны от плоскости Зх + 5у — 2 — 1 = 0.
5.16. Найдите все такие значения параметра t, при которых на отрезке АВ нет ни одной точки плоскости 2х + Зу — 52 — 2 = О, если A{2t; f + 1; 2) и Б(3;-5;3# + 1).
5.17. Изобразите множество точек пространства, для которых ху2 = 0.
5.18. Изобразите множество точек пространства, для которых |х| + |у| = 1.
5.19. Изобразите множество точек пространства, для которых |х| + |у| + |2| = 1.
5.20. Изобразите множество точек пространства, для которых |х| + |у| + \г\ = 2х + Зу + 42.
5.21. Изобразите множество точек пространства, для которых х^ + 4гу = у^ + 422.
5.22. Изобразите множество точек пространства, для которых |х| + |у| — |2| = 4.
5.23. Изобразите множество точек пространства, для которых х2 — 4х + у2 + 6у + г2 — 2\z\ + 17 = 0.

5.24. Найдите геометрическое место таких точек М(х; у; z), которые равноудалены от начала коорди¬нат и от точки Р(2; -3; 8).
5.25. Найдите геометрическое место таких точек М(х; у; z), сумма квадратов расстояний которых до точек А(3; 8; 1) и Б(1; -1; 3) равна сумме квадратов из расстояний до точек С(0; -1; 3) и Б(1; 5; -2).
5.26. Найдите геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до семи вершин куба в 7 раз больше квадрата расстояния от этих точек до восьмой вершины.
5.27. На плоскости 2х + Зу — 5г — 1 = О найдите та¬кую точку MQ(X; у; z), что отрезок MMQ перпендику¬лярен этой плоскости, если М(1; 2; -1).
5.28. На плоскости x-2y-2z + l = 0 найдите точку MQ(X; у; z), наименее удаленную от точки М(1; -1; 1). Определите длину отрезка MMQ.
5.29. Найдите расстояние от точки М(-3; 1; 2) до плоскости Зх + 4у — 12г + 2 = 0.
5.30. Напишите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точку А(1; -3; 8), если рас¬стояние от плоскости до точки М(1; 1; 0) равно 1.
5.31. Напишите уравнение плоскости, содержащей ось Оу, если расстояние от этой плоскости до точки М(-3; 8; 1) равно 1.
5.32. Найдите геометрическое место точек, рас¬стояние которых до плоскости 2х-Зу + г-1 = 0 рав¬но расстоянию до плоскости 2х — Зу + г + 5 = 0.
5.33. Найдите геометрическое место точек, удален¬ных от плоскости X + 2у — 2г — 5 = О на расстояние 2.
5.34. Найдите геометрическое место точек, рав¬ноудаленных от плоскостей Зх + 12у — 4г — 1 = О и 4х — Зу -f 12г -1-5 = 0.

5.35. Найдите угол между плоскостями 2х + 2у — г — 2 = О и 5х + 12у — 2 = 0.
5.36. Найдите величину двугранного угла, образо¬ванного плоскостями X + 2у — 2г — 7 = О и Зх + 4у + + 12г + 1 = 0и содержащего начало координат.
5.37. Найдите косинусы углов, образованных плос¬костью Зх-5у + г- 8 = 0и координатными плоскос¬тями.
5.38. Докажите, что сумма квадратов косинусов уг¬лов, образованных произвольной плоскостью с тремя попарно перпендикулярными плоскостями, равна 1.
5.39. Напишите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной плос¬костям 2х + Зу-г-5 = 0их + 21/+ 2-11=0.
5.40. В каком отношении плоскость Зх — 5г/ + 2г — -5 = 0 делит отрезок АВ, если А(3; 2; 1) и В(7; -1; 2)?
5.41. Прямая АВ пересекает плоскость а в точке М, отличной от А и В. Докажите, что
аху + Ьуу + czy + d ВМ ах2 + Ьу2 + czg + d ’
если А{Ху] уу-, Zy), B(Xg; i/g? ^2)» ^ плоскость а задана уравнением ах + by + сг + d = 0.
6. Сфера и шар
6.1. Напишите уравнение сферы с центром в точке М(-1; 3; 5) и радиусом 4.
6.2. Напишите уравнение сферы с центром в точке М(2; 0; -3), проходящей через начало координат.
6.3. Напишите уравнение сферы с диаметром АВ, если А(-3; 5; 0) и В(1; -7; 2).

6.4. Напишите уравнения всех сфер, радиусом которых служит отрезок PQ, если Р(-1; 2; 1) и Q(0; 3; 2).
6.5. Найдите множество центров сфер, проходя-щих через точки Р(-1; 2; 7) и Q(3; 8; -1). Какая из этих сфер имеет наименьший радиус?
6.6. Найдите множество центров всех сфер, прохо-дящих через точки А(1; 3; -1), Б(5; 9; 1) и С(7; 7; 7).
6.7. Найдите центр сферы, проходящей через точ-ки А(0; 2; 4), Б(0; -2; 6), С(2; 4; 8) и начало коорди-нат.
6.8. Найдите центры всех сфер, проходящих через точки А(0; 5; 12), Б(4; -3; 12) и С(12; -4; -3).
6.9. Найдите координаты центра и радиус описан-ной около тетраэдра сферы, если координаты вершин тетраэдра (0; 0; 0), (8; 0; 0), (0; -2; 0) и (0; 0; -6).
6.10. Для каждого а определите множество точек, заданных уравнением + 4х + — 2у + = а.
6.11. Для каждого а определите множество точек, заданных .уравнением х^ + 2ах + — 4г + 8 = 0.
6.12. Найдите длину линии, состоящей из всех об¬щих точек двух сфер (х — 1)^ + (у + 3)^ + (г — 5)^ = 64 и (X + 3)2 + (у + 6)2 + (2 + 7)2 = 25.
6.13. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех
9 9 9
общих точек двух шаров (х — 3) + (у + 4) +2 = 13 и (Х-3)2 + (у-2)2 + (2-8)2 = 5.
6.14. Напишите уравнение плоскости, в которой
9 9 9
лежат все общие точки сфер х + у + 2 = 4и
(X — 1)2 + (у — 2)2 + (г — 2)2 = 4.
6.15. Напишите уравнение плоскости, в которой ле¬жат все общие точки сфер (х — 1)2 + (у + 2)2 + (2 + 5)2 = 9 и (X — 4)2 + (у + 6)2 + (2 + 5)2 = 16.

6.16. Найдите точки пересечения осей координат со сферой (х — 1)^ + (у + 3)^ + 2^ = 9.
6.17. Найдите длину хорды, высекаемой сферой (х + 2f + (у — 1)^ + (2 + 3)^ = 16 на оси аппликат.
6.18. Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы х^ + 2х + у^ + 2у + 2^ — 42 = О в начале координат.
6.19. Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы х^ — 4х + у^ + 2^ = 9 в точке М(3; 2; 2).
6.20. Напишите уравнения всех плоскостей, про¬ходящих через ось абсцисс и касающихся сферы х^ + (у- 3)^ + (2 — 4)^ = 16. Для каждой плоскости укажите координаты точки касания.
6.21. Напишите уравнения всех сфер, проходя¬щих через точки (б; -3; 0), (1; 0; 4) и касающихся плоскостей 2 = 5 и у = -8.
6.22. Найдите координаты центров всех сфер ради¬уса 1, касающихся каждой из плоскостей х = О, у = 1, 2 = 5.
6.23. Напишите уравнение сферы с центром (1; 1; 2), касающейся сферы х^ + у^ + 2^ = 24.
6.24. Напишите уравнение сферы с центром (5; 1; 1), касающейся сферы = 3.
6.25. Напишите уравнение сферы, касающейся сфер х^ + у^ + 2^ = 1 и х^ + у^ + 2^ = 9, если центр этой сферы лежит в плоскости х + у + zj2 — 4 = 0.
6.26. Найдите множество всех таких точек М(х; у; 2), что AM = 2ВМ, если А(0; 1; 0) и В(-2; 0; 1).
6.27. Найдите множество всех таких точек
М(х; у; 2), что = ^, если А(1; 2; -5) и В(-2; 1; 0).
6.28. Найдите множество таких вершин А(х; у; г) Треугольника АВС, что биссектриса угла А проходит через начало координат, если В(-2; 0; 0) и С(3; 0; 0).

6.29. Найдите множество таких вершин С(х; у; г) треугольника ABC, что угол С является прямым, если А(1;2;7)иВ(3;-4; -1).
6.30. Найдите множество таких точек В(х; у; z), что угол ABC является тупым, если А(3; -1; 0) и С(1; 3; 2).
6.31. Найдите множество таких точек К(х\ у; z), что угол MKN является острым, если М(1; 2; 0) и А(-1; -2; 4).
6.32. Найдите множество точек, расстояние от ко¬торых до сферы (х — 1)^ + у^ + (z + 2)^ = 9 равно 2.
6.33. Найдите множество таких точек P(z; у; z), что сумма квадратов расстояний от них до точек А(3; 4; 0) и В(1; 2; 3) равна 39.
6.34. Найдите множество точек пространства, сум¬ма квадратов расстояний которых до вершин тре¬угольника ABC равна 32, если А(1; 2; 3), В(0; 1; 4) и С(1;-1;0).
6.35. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки сферы, описанной около куба, до всех вершин куба есть величина постоянная. Найдите эту величину.
6.36. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки шара, вписанного в куб, до всех вер¬шин куба есть величина постоянная. Найдите эту ве¬личину.
6.37. Докажите, что геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний которых до всех вершин октаэдра с ребром 1, равна 6, есть описанный около октаэдра шар.
6.38. Найдите геометрическое место точек таких, что сумма квадратов расстояний от них до вершин правильной треугольной призмы, все ребра которой имеют длину 1, равна 5.

6.39. Найдите множество точек, сзгмма расстояний которых до осей координат равна 2.
6.40. Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний которых до плоскостей х = О, у — г = О, у + 1 = 0 равна 4.
6.41. Точка А(х; у; г) лежит на сфере, заданной уравнением х^ + 4х + — 2у + — 6г = 0. В каких
пределах изменяется сумма ее координат?
7. Прямая и плоскость, сфера, шар
7.1. Определите взаимное расположение прямой
х = 1 + 5t, y = l-3t, z = t
и плоскости 2х + Зу — 2 — 5 = 0.
7.2. Определите взаимное расположение прямой
x = 3-t,
■ y = 5 + 2t,
2=3
и плоскости 2х + у — 52 — 1 = 0.
7.3. Определите взаимное расположение прямой
x = 2 + 3t,
• У = 1,
[z = 6 + 2t
и координатных плоскостей.
7.4. Определите взаимное расположение прямой
х = 1 — 3t,
■ y = 2 + 2t, z=5-t
и плоскости X + у + 52 = 0.

7.5. Напишите уравнение прямой, проходящей че-рез точку М(0; 3; 4) и перпендикулярной плоскости 5х + 2у — 2 — 5 = 0. Найдите координаты точки пересе-чения этой прямой с данной плоскостью.
7.6. Напишите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой
Найдите координаты точки пересечения этой плос¬кости с данной прямой.
7.7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 8; 1), параллельной плоскости 2х + у + 2 = 0 и пересекающей ось Оу.
7.8. Напишите уравнение плоскости, параллель-ной прямой
и содержащей ось Oz.
7.9. Напишите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и содержащей прямую
7.10. Существуют ли плоскости, проходящие через прямые
X = 3 — t, y = 2t, z = 5 + 3t.
x = 8 + t, y=l-8t, z = 3t
x = 3 + t, y = 5-t, z = t.
Если да, то напишите все их уравнения.

7.11. Существуют ли плоскости, проходящие через прямые
x = 3-t, [х = 2 + ц,
‘ у = 2 +Ы, и у = 1 — 5и, z = t \ z=\- и?
Если да, то напишите все их зфавнения.
7.12. Найдите усол между прямой
x = 2 + 3t,
■ y=l-t, z = 2 + t
и плоскостью 2х — Зу + 2 — 1 = 0.
7.13. Найдите расстояние между плоскостью, за¬данной уравнением 2х + Зу — 5г + 1 = О, и прямой
\x = 2 + t, y = t, z = 3 +1.
7.14. В каком отношении плоскость, заданная уравнением 2х + Зу + 52 — 20 = О, делит отрезок пря¬мой АВ, если А{2; 1; 1) и В(7; 10; 0)?
7.15. Определите взаимное расположение прямой
\x = l-3t,
■ y = 2 + 2t,
,z = 4 + t
и сферы + у^ + 2^ = 25.
7.16. Определите взаимное расположение прямой
х = 1 + 3е,
• y = 5-12t,
2 = 12 + 5t
и сферы (х — 1)^ + у^ + 2^ = 169.
7.17. Определите взаимное расположение прямой
х = 2 + 3t,
■ y = 7-t,
z = 15 + 9t
и сферы х^ + у^ -I- 2^ = 1.

7.18. Найдите длину хорды, отсекаемой на прямой
x = 2 + 4t,
■ У = t,
[z=l-3t
сферой (х — 1)2 + (у + 2)2 + (2 + 1)2 = 25.
7.19. Найдите все точки на оси Oz, через которые проходит хотя бы одна прямая, касающаяся сферы (х — 1)2 + (у + 2)2 + (2 + 2)2 = 9 в точке Р(3; -1; -4).
7.20. Из начала координат проведены всевозмож¬ные прямые, касающиеся сферы (х — 4)2 + (у — 3)2 +
+ (2 — 12)2 = 144. Найдите уравнение плоскости, в ко-торой лежат все точки касания.
7.21. Найдите уравнения всех сфер с центром в на¬чале координат, касающихся прямой
x = 3-2t,
■ У = l+t,
12=5.
7.22. В плоскости х + у + 2г = О найдите все прямые, касающиеся сферы (х — 2)2 + (у — 4)2 + г2 = 8 и проходящие через начало координат.
7.23. Напишите уравнения проекций прямой
x = 3-2t,
■ y=l+3t,
2=5
на координатные плоскости.
7.24. Прямая
x = 3-2t,
• у=7 + 5t, z = l-t
пересекает координатные плоскости хОу, xOz и yOz соответственно в точках М^, Mg, Mg. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

7.25. Напишите уравнения центров всех сфер, ка¬сающихся всех координатных осей.
7.26. Найдите геометрическое место центров таких шаров, что все точки прямых
для которых t е [-1; 3], и е [0; 6], принадлежат ша¬рам, а другие точки этим шарам не принадлежат.
7.27. На сфере = 1 найдите точки, рас¬
стояния от которых до прямой
а) наименьшее; б) наибольшее.
8. Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значений
8.1. Найдите площадь полной поверхности пра-вильной шестиугольной призмы, объем которой ра-вен 4, а сумма длин всех ребер наименьшая.
8.2. Основание пирамиды — правильный треуголь¬ник, одно из боковых ребер совпадает с высотой пира¬миды, длины двух дрзших боковых ребер равны 3. При какой высоте пирамиды ее объем является наиболь¬шим? Найдите это наибольшее значение объема.
8.3. Прямоугольный треугольник, сумма длин ка-тетов которого равна 3, вращается вокруг одного из них. Какими должны быть длины катетов, чтобы объем ползгченного при вращении конуса был на-ибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.
X = 3 + t, y = 2-t, z = \-2t:

8.4. Середина бокового ребра правильной треуголь¬ной пирамиды находится на расстоянии 2 от высоты основания, не пересекающей это боковое ребро. При какой длине стороны основания пирамиды она будет иметь наибольшую площадь боковой поверхности? Найдите это наибольшее значение площади.
8.5. Правильная треугольная призма вписана в шар радиуса 4 так, чтобы одно из боковых ребер ле¬жит на диаметре шара, а все вершины противополож¬ной боковой грани принадлежат поверхности шара. При какой высоте призмы сумма длин всех ее ребер является наибольшей?
8.6. В правильную четырехугольную пирамиду, диагональное сечение которой — правильный тре-угольник со стороной 3, вписана правильная четырех¬угольная призма, боковые ребра которой параллель¬ны диагонали основания пирамиды, одна боковая грань лежит в основании пирамиды, а вершины про¬тивоположной грани лежат на боковых гранях пира¬миды. При какой высоте призмы ее объем является наибольшим? Найдите это наибольшее значение объ¬ема.
8.7. В куб с ребром 6 вписана правильная шести-угольная призма так, что диагональ куба проходит через центры оснований призмы и на каждой грани куба лежат по две вершины призмы. Найдите высоту призмы, при которой ее объем является наибольшим. Какую по объему часть куба занимает при этом призма?
8.8. Одно из оснований правильной треугольной призмы принадлежит большому кругу шара с ради-усом 26, а вершины дрзч’ого основания принадлежат поверхности этого шара. Определите высоту призмы, при которой сумма длин всех ее ребер является наг ибольшей.

8.9. В куб с ребром 3 вписан цилиндр, ось которого лежит на диагонали куба, а окружности оснований касаются граней. Найдите высоту цилиндра, при ко¬торой он будет иметь наибольший объем. Определите это наибольшее значение объема.
8.10. В правильную треугольнзчо пирамиду вписа¬на правильная треугольная призма, одно основание которой лежит в плоскости основания пирамиды, а вершины другого основания принадлежат апофемам пирамиды. Высота призмы равна 2, а сторона ее осно¬вания л/б. При какой высоте пирамиды радиус опи¬санной около нее сферы является наименьшим? Най¬дите это наименьшее значение радиуса.
8.11. В сферу вписана правильная шестиугольная призма, боковые грани которой — квадраты с длиной стороны 6. Вершины верхнего основания правильной четырехугольной призмы принадлежат сфере, а ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего осно¬вания данной шестиугольной призмы. Какой должна быть высота четырехзч’ольной призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.
8.12. В сферу вписан конус, в который, в свою оче¬редь, вписана правильная четырехугольная призма; одно из ее оснований лежит в плоскости основания конуса, а вершины другого основания — на боковой поверхности конуса. Длина бокового ребра призмы равна 4, а длина стороны основания равна 8. Опреде¬лите высоту конуса, при которой радиус описанной около него сферы являете . наименьшим. Найдите это наименьшее значение радиуса.
8.13. В правильную треугольнзчо пирамиду вписан шар. Другой шар касается всех боковых граней пира¬миды и первого шара. Расстояние между центрами шаров равно 4. Какими должны быть радиусы шаров, чтобы пирамида имела наименьший объем?

8.14. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Второй шар, имеющий радиус 4, касает¬ся первого шара и всех боковых граней. При каком радиусе первого шара пирамида имеет наименьший объем? Найдите отношение объема пирамиды к объ¬ему первого шара в этом слзгчае.
8.15. В конус вписана правильная четырехугольная призма с высотой 6; ее нижнее основание лежит в плос¬кости основания конуса, а вершины другого основания принадлежат его боковой поверхности. Вершины верх¬него основания другой призмы, подобной первой, при¬надлежат боковой поверхности конуса, а ее нижнее ос¬нование лежит в плоскости верхнего основания первой призмы. При какой высоте второй призмы отношение ее объема к объему конуса является наибольшим? Найдите это наибольшее значение отношения.
8.16. В конус с высотой 3 и радиусом основания 2 вписана правильная треугольная призма, нижнее ос¬нование которой лежит в плоскости основания кону¬са, а вершины другого основания принадлежат его бо¬ковой поверхности. Вершины верхнего основания другой призмы, подобной первой, принадлежат боко¬вой поверхности конуса, а ее нижнее основание ле¬жит в плоскости верхнего основания первой призмы. При какой высоте первой призмы вторая призма име¬ет наибольший объем? Найдите это наибольшее зна¬чение объема.
8.17. В правильную треугольную пирамиду с вы¬сотой 4 вписана правильная треугольная призма со стороной основания 3, так что ее нижнее основание лежит в плоскости пирамиды, а вершины другого ос-нования лежат на боковых ребрах пирамиды. Нижнее основание второй призмы, подобной первой, прина-длежит верхнему основанию первой призмы, а вер-шины верхнего основания также лежат на боковых ребрах пирамиды. При какой высоте первой призмы

вторая призма имеет наибольший объем? Найдите от¬ношение объема пирамиды к объему второй призмы в этом случае.
8.18. В сферу радиуса 2 вписана правильная тре¬угольная призма; вторая призма, подобная первой, своим нижним основанием поставлена на верхнее основание первой призмы, а вершины ее верхнего основания принадлежат сфере. При какой высоте первой вписанной призмы вторая призма имеет на-ибольшую высоту?
8.19. В сферу радиуса 9 вписана правильная тре¬угольная пирамида. В пирамиду вписана прямая призма, одно основание которой лежит в плоскости основания пирамиды, а вершины другого лежат на боковых ребрах пирамиды. Какими должны быть вы-сота пирамиды и высота призмы, чтобы объем приз-мы был наибольшим? Найдите это значение объема. Покажите, что при этом пирамида также должна иметь наибольший объем.
8.20. В сферу вписана правильная четырехуголь¬ная пирамида; в пирамиду вписан цилиндр, у которо¬го одно из оснований лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность другого основания касается боковых граней. Высота цилиндра и радиус его осно¬вания равны 4. При какой высоте пирамиды радиус описанной около нее сферы является наименьшим? Найдите это наименьшее значение радиуса.
8.21. Конус с углом 60° между образующей и высо¬той вписан в сферу радиуса 2 так, что его вершина на¬ходится в центре сферы, а окружность основания — на сфере. Все вершины нижнего основания правиль¬ной шестиугольной призмы (параллельного основа¬нию конуса) лежат на сфере, а остальные ее вершины принадлежат боковой поверхности конуса. Какими должны быть высота и сторона основания призмы, чтобы площадь ее боковой поверхности была наиболь¬шей? Найдите это наибольшее значение площади.

8.22. Одно основание правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 4, принадлежит основанию правильной шестиугольной пирамиды, а вершины другого основания лежат на боковых гра¬нях пирамиды. При какой высоте пирамиды объем вписанного в нее шара является наибольшим? Найди¬те это наибольшее значение объема шара. Определите отношение объемов пирамиды и шара,
8.23. В шар вписана правильная четырехугольная пирамида. Одна грань куба с ребром 2 лежит в плос¬кости основания пирамиды, при этом один конец ди¬агонали куба совпадает с центром основания пирами¬ды, а другой конец этой диагонали лежит на боковом ребре пирамиды. При какой высоте пирамиды объем шара является наименьшим? Найдите это наимень¬шее значение объема.
8.24. В правильную четырехугольную пирамиду с высотой 6 и углом 60° между боковым ребром и высо¬той помещена правильная четырехугольная призма. Все вершины ее нижнего основания (параллельного основанию пирамиды) принадлежат сфере с центром в вершине пирамиды и касающейся ее основания; верхнее основание призмы является сечением пира¬миды. Какими должны быть сторона основания и вы¬сота призмы, чтобы площадь ее боковой поверхности была наибольшей? Найдите это наибольшее значение площади.
8.25. В сферу радиуса 5 вписана правильная четы¬рехугольная пирамида, высота которой равна стороне основания. Между боковой гранью пирамиды и сфе¬рой расположена правильная треугольная призма, од¬но из оснований которой (ближнее к центру сферы) ле¬жит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наиболь¬шим? Найдите это наибольшее значение объема.

9. Построение сечений куба
в задачах 9.1—9.15 постройте сечение куба плоско-стью MRP.
9.1. 9.2. 9.3.
р
9.4.
9.5.
9.6.

7 Геометрия. 8 — 11 кл.

9.10.
9.11.
9.12.
М е (BBjCj)
9.13.
М е (АуВуСу) М 6 (АуВуСу)
9.14.
в,
9.15.
в,
/ А А м/
1
( -^1 \ Dy
1 М 4- — — —
/
/ / Р / /
R
D
/!
1
Р*’
•м
/ у
/ /
R е (ABC)
Р е (ААуВу), Re (А^ВуСу), М е {DDyCy)
В задачах 9.16—9.18 постройте линию пересечения секущей плоскости NKF с плоскостью PQM.
9.16.
9.17.
9.18.

в задачах 9.19—9.24 постройте точку пересечения се-кущей плоскости NKF с прямой PQ.
9.21.
Р
N
К
9.22.
Р
N
К Q
9.23.
К
N/
9.24.
Р
1
1
‘ р
р — ■* — ■ 1
I
1
/ /
10. Пирамида, призма и сфера Правильная пирамида
10.1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD плоский угол при вершине равен а. Сторона основания а. Найдите:
а) двугранный угол при ребре основания;
б) двугранный угол при боковом ребре;
в) угол между плоскостями соседних боковых гра-ней;
г) угол между плоскостями не соседних боковых граней;

д) длину высоты;
е) расстояние от центра основания до боковой грани;
ж) расстояние от вершины А до боковой грани МСВ;
з) угол между боковой гранью и не лежащим в ней боковым ребром;
и) угол между боковой гранью и пересекающим ее ребром основания;
к) расстояние от К (середины ребра АВ) до боковой грани МСВ;
л) угол между боковой гранью и не лежащей в ней апофемой;
м) все высоты тетраэдра МАВС;
н) все высоты тетраэдра МАКС.
10.2. В правильную шестиугольную пирамиду впи¬сан шар радиуса 1. Расстояние от центра этого шара до вершины основания пирамиды 7. Найдите:
а) длину стороны основания;
б) длину бокового ребра;
в) длину высоты;
г) радиус описанного около пирамиды шара.
10.3. Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен 5, а расстояние от его центра до плоскости основания пирамиды 3. Найдите боковое ребро пирамиды (рассмотрите все случаи).
10.4. Правильная четырехугольная пирамида MABCD и правильная треугольная пирамида KTLQ имеют общую высоту МК, равную отрезку QC. Опре-делите количество граней, ребер и вершин много-угольника, являющегося пересечением этих пирамид.
10.5. Основание правильного тетраэдра DABC с ребром 1 является боковой гранью правильной четы¬рехугольной пирамиды ABCPQ. Вершина D лежит вне пирамиды ABCPQ. Найдите:
а) расстояние между вершинами В и Р;
б) угол между прямыми BD и QC.

Пирамида с равными боковыми ребрами
10.6. В основании треугольной пирамиды лежит
треугольник со сторонами 5, 6 и • Все боковые грани пирамиды равны между собой. Высота пирами¬ды составляет с каждым из ее боковых ребер угол 60°. Найдите боковое ребро.
10.7. Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 2 и 10 и высотой 4. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под уг¬лом 45°. Найдите боковое ребро и высоту пирамиды.
10.8. В шар радиуса 13 вписана пирамида, основа¬нием которой является прямоугольник со сторонами 10 и 24, а все боковые ребра равны между собой. Най¬дите площадь ее полной поверхности.
10.9. В треугольной пирамиде длины пяти ребер равны 25, а длина шестого равна 14. Найдите длины всех высот пирамиды (расстояний от вершины до про¬тивоположной грани).
10.10. В треугольной пирамиде длины четырех ре¬бер равны 2, а длины двух ребер равны 2 V2 . Найдите радиус описанного около пирамиды шара.
Пирамида, все двугранные углы которой при ребрах основания равны
10.11. В основании пирамиды MABCD лежит ромб ABCD с диагоналями АС = 6; BD = 8, а все боковые грани образуют с основанием угол 45°. Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) расстояние от вершины М до ребра основания;
в) расстояние от вершины А до плоскости МВС;
г) площадь сечения, проходящего через ребро A-D и точку пересечения медиан грани МСВ.

10.12. Основанием пирамиды MABCD является трапеция ABCD с прямым углом А и основаниями ВС = 3, AD = 6. Все боковые грани образуют с высотой угол 60°. Найдите высоту пирамиды.
10.13. Основание пирамиды — правильный тре¬угольник, а высота пирамиды проходит через один из центров вневписанной окружности и равна радиусу этой окружности. Найдите величины двугранных уг¬лов пирамиды при ребрах ее основания.
10.14. Основанием пирамиды является треуголь¬ник со сторонами 13, 14, 15. Угол между плоскостью основания и плоскостью каждой из боковых граней равен 30°. Рассмотрите четыре возможных случая и для каждого из них найдите высоту пирамиды.
10.15. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник АВС с углом А, равным а. Высота пира¬миды проходит через центр окружности, вписанной в основание, и равна боковой стороне треугольника. Найдите угол наклона боковых граней к основанию. (Для каждого 0° < а < 180° рассмотрите все случаи.)
Пирамида, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию
10.16. Основание пирамиды — правильный тре¬угольник со стороной а. Одна из боковых граней пер¬пендикулярна основанию и представляет собой равно¬бедренный треугольник с основанием 0,56а. Найдите высоту пирамиды.
10.17. Основанием пирамиды является ромб с ост¬рым углом а. Одна из боковых граней есть равносто¬ронний треугольник и перпендикулярна плоскости основания. Найдите величины двугранных углов при ребрах основания пирамиды.

10.18. Основанием пирамиды служит прямоуголь¬ный треугольник с острым углом 60°. Боковая грань, содержащая гипотенузу пирамиды, перпендикулярна основанию, а две другие образуют с основанием углы по 45°. Высота пирамиды равна 8. Найдите площадь основания пирамиды.
10.19. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = АС = 13, ВС =10. Ребра МС и МА наклонены к плоскости основания под углом 45°, а грань MBA перпендикулярна основа¬нию пирамиды. Найдите высоту пирамиды.
10.20. Все боковые ребра треугольной пирамиды МАВС составляют с высотой МК углы, равные а; АВ = а; ВС = 2а; грань MAC перпендикулярна основа¬нию. Найдите: а) площадь основания; б) высоту пира¬миды; в) радиус описанного шара.
Пирамида, у которой две боковые грани перпендикулярны основанию
10.21. Основание пирамиды — квадрат со стороной
а. Две боковые грани перпендикулярны плоскости ос¬нования, а две другие составляют с ней угол 60°. Най¬дите высоту пирамиды.
10.22. Основание пирамиды — ромб со стороной а и тупым углом 120°. Две боковые грани перпендику¬лярны плоскости основания, а две другие составляют с ней угол 60°. Найдите высоту пирамиды (рассмотри¬те все случаи).
10.23. Основанием пирамиды является трапеция со сторонами а, а, а и 2а. Две боковые грани перпен¬дикулярны плоскости основания, а одна из двух дру¬гих составляет с ней угол 45°. Найдите высоту пира¬миды (рассмотрите все случаи).

10.24. В тетраэдре ребра АВ, АС и AD соответствен¬но равны 3, 4 и 5, а все плоские углы при вершине А — прямые. Найдите величину двугранного угла при каждом ребре пирамиды.
10.25. Основание пирамиды — правильный шести¬угольник с ребром а. Найдите длины всех боковых ре¬бер пирамиды, если ее две не соседние боковые грани перпендикулярны плоскости ее основания, а высота пирамиды равна удвоенному диаметру окружности, вписанной в основание.
Разные пирамиды
10.26. В треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра попарно равны между собой. Найдите сумму плоских углов при вершине пирамиды.
10.27. Основание пирамиды — квадрат ABCD со стороной а. Боковые ребра MB и МА равны между со¬бой, двугранный угол при ребре AD равен а, а при ребре DC равен Р (3 < а < 90°). Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) угол наклона к основанию пирамиды большего бокового ребра.
10.28. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD все ребра равны Ь. Правильная треугольная пирамида КАРТ расположена так, что РпТ лежат со¬ответственно на ребрах ВС и CD, а вершина — на бо¬ковой поверхности пирамиды MABCD. Найдите рас¬стояние между М и К.
10.29. Основание пирамиды MABCD — ромб ABCD с острым углом BCD, равным 60°, и высотой 12. Вершина М равноудалена от прямых AD, ВС и от вер¬шин В и С. Найдите длины боковых ребер, если высо¬та пирамиды равна 1.
10.30. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD. Можно ли на прямых МА и CD найти четыре вершины правильного тетраэдра? Ответ обоснуйте.

10.31. Правильная четырехугольная пирамида MABCD такова, что на прямой АВ и на прямой, содер¬жащей апофему грани MCD, можно найти четыре вершины правильного тетраэдра. Найдите отношение ребра этого тетраэдра к ребру основания пирамиды MABCD.
Шар и призма
10.32. Докажите, что для того чтобы около призмы можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямой и около ее основания можно было описать круг.
10.33. Докажите, что для того чтобы в прямую призму можно было вписать шар, необходимо и до¬статочно, чтобы в каждое из ее оснований можно бы¬ло вписать круг и диаметр этого круга был равен бо¬ковому ребру призмы.
10.34. В наклонную призму вписан шар. Докажи¬те, что:
а) высота призмы равна диаметру этого шара;
б) в сечение соответствующей данной призме приз¬матической поверхности плоскостью, перпендику¬лярной ее боковому ребру, можно вписать круг, ради¬ус которого равен радиусу шара.
10.35. В правильную трезтгольную призму вписан шар радиуса R. Найдите объем призмы.
10.36. Около правильной треугольной призмы, все ребра которой равны d, описан шар. Найдите радиус шара.
10.37. В правильную шестиугольную призму мож¬но вписать шар. Найдите отношение радиуса этого шара к радиусу шара, описанного около призмы.
10.38. В куб с ребром а вписан шар. Найдите рас¬стояние от центра этого шара до: а) вершины куба;
б) ребра куба.

10.39. В куб с ребром а вписан шар. Найдите ради¬ус шара, касающегося данного шара и трех граней ку¬ба, имеющих общую вершину.
10.40. В куб с ребром а вписан шар. Найдите ради¬ус шара, касающегося данного шара и плоскостей трех граней куба, имеющих общую вершину.
10.41. В куб с ребром а вписан шар. Найдите на¬именьший радиус шара, касающегося двух соседних граней куба и данного шара.
10.42. В куб ABCDAiBiCiDi с ребром а помещены два касающихся друг друга шара. Один из них каса¬ется трех граней куба, имеющих общую вершину А, а другой — трех граней куба, имеющих общую вер¬шину Cj. Найдите радиусы шаров, если они равны между собой.
10.43. В куб АВСВА^В^С^В^ с ребром а помещены два касающихся друг друга шара. Один из них каса¬ется трех граней куба, имеющих общую вершину А, а другой — трех граней куба, имеющих общую вер¬шину Aj. Найдите радиусы шаров, если они равны между собой.
10.44. В куб ABCDAiByCiDi с ребром а помещены два касающихся друг друга шара. Один из них каса¬ется трех граней куба, имеющих общую вершину А, а другой — трех граней куба, имеющих общую вер¬шину Bj. Найдите радиусы шаров, если они равны между собой.
10.45. В куб АВСВА^В^СуВу с ребром а помещены два касающихся друг друга шара. Один из них каса¬ется трех граней куба, имеющих общую вершину А, а другой — трех граней куба, имеющих общую вер¬шину Су. Найдите радиусы шаров, если они относятся как 2 : 3.

10.46. Основанием прямой призмы ABCDAyByCyDy является равнобедренная трапеция ABCD, у которой АВ = CD и острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанного в призму шара, если сумма всех ребер призмы равна 40.
10.47. Найдите радиус шара, описанного около прямой призмы, основание которой — прямоуголь¬ный треугольник с гипотенузой 5, а боковое ребро равно 13.
10.48. Дан куб с ребром а. Найдите радиус шара, касающегося всех ребер куба.
10.49. Шар радиуса R касается всех ребер куба. Найдите радиус шара, касающегося данного шара и плоскостей трех граней куба, имеющих общую вер-шину.
10.50. В шар радиуса R вписан куб. Найдите ради¬ус шара, касающегося грани куба в точке пересече¬ния ее диагоналей и данного шара (рассмотрите два случая).
10.51. Шар радиуса R касается всех ребер одной из граней куба и проходит через все вершины противо¬положной ей грани. Найдите объем куба.
10.52. Шар радиуса R проходит через все вершины грани куба и касается противоположной грани. Най¬дите ребро куба.
10.53. Шар с центром в точке Су проходит через вершины В, D и Ау куба ABCDAyByCyDy. Найдите длину линии пересечения поверхности шара с граня¬ми куба, если ребро куба равно а.
10.54. Может ли сфера проходить ровно через семь вершин четырехугольной призмы? (Ответ обоснуйте.)
10.55. Основанием призмы ABCDAyByCyDy слу¬жит квадрат ABCD со стороной а; М — середина реб¬ра AyDy\ О — точка пересечения диагоналей ABCD;

МО = h — высота призмы. Найдите радиус сферы, проходящей через точки А, В, С, D,Ay, Dy.
10.56. Основанием призмы ABCDAyByCyDy слу¬жит квадрат ABCD со стороной а; М — середина реб¬ра AyDy; О — точка пересечения диагоналей ABCD; МО = h — высота призмы. Найдите радиус сферы, проходящей через точки А, В, С, D п касающейся прямой AjDj.
10.57. В кубе ABCDAyByCyDy с ребром а проведено сечение через точки М, N, Р, лежащие соответственно на ребрах ААу, АВ, AD на равных расстояниях от А. Найдите площадь этого сечения, если в каждый из двух полученных многогранников можно вписать шар.
Шар и пирамида
10.58. Центр шара, вписанного в правильную че¬тырехугольную пирамиду, делит ее высоту в отноше¬нии 5:3. Найдите величину двугранного угла при бо¬ковом ребре пирамиды.
10.59. Центр шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, делит ее высоту в отно¬шении 5 : 3, считая от вершины. Найдите величину угла наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.
10.60. Точка пересечения диагоналей основания правильной четырехугольной пирамиды делит отре¬зок, соединяющий вершину пирамиды с центром опи¬санной около пирамиды сферы, в отношении 5:3. Найдите величину угла наклона бокового ребра пира¬миды к плоскости ее основания.
10.61. В тетраэдр вписан шар радиуса г. Найдите расстояние от центра шара до вершин и до ребер этого тетраэдра, если все ребра тетраэдра равны.

10.62. В четырехугольную пирамиду вписан шар радиуса г. Найдите расстояние от центра шара до каждой из вершин и до каждого из ребер этой пира-миды, если все ребра пирамиды равны.
10.63. В шар радиуса R вписана правильная тре¬угольная пирамида с плоским углом 90° при верши¬не. Найдите высоту пирамиды.
10.64. В шар радиуса R вписана правильная тре¬угольная пирамида с двугранным зтглом 60° при ребре основания. Найдите сторону основания пирамиды.
10.65. Центр шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, совпадает с центром вписанного в нее шара. Найдите угол наклона боково¬го ребра пирамиды к плоскости ее основания.
10.66. Центр описанного около правильной шести¬угольной пирамиды шара является серединой отрез¬ка, соединяющего центр вписанного в пирамиду шара с основанием высоты пирамиды. Найдите двугран¬ный зтгол при ребре основания пирамиды.
10.67. Центры вписанной и описанной около пра¬вильной четырехугольной пирамиды сфер симмет¬ричны относительно плоскости основания пирамиды. Найдите отношение радиуса описанной сферы к ради¬усу вписанной.
10.68. Основанием треугольной пирамиды с рав¬ными боковыми ребрами является прямоугольный треугольник с гипотенузой 10. Высота пирамиды рав¬на 12. Найдите радиус описанного шара.
10.69. Основание пирамиды — ромб с углом 60° и стороной 6. Вершина пирамиды проектируется в точ¬ку пересечения диагоналей основания. Высота пира¬миды равна 9. Сфера проходит через четыре вершины пирамиды. Найдите расстояние от пятой вершины пирамиды до сферы (рассмотрите все слзшаи).

10.70. Основание ABCD куба ABCDAyByCyDy явля¬ется основанием правильной четырехугольной пира¬миды MABCD. Сфера проходит через все девять ука¬занных точек. Ребро куба равно а. Какие значения может принимать высота пирамиды?
10.71. В треугольную пирамиду, все ребра которой равны 2 см, помещены четыре равных шара, каждый из которых касается трех остальных и вписан в один из трехгранных углов пирамиды. Найдите радиус этих шаров.
10.72. Высота правильной четырехугольной пира¬миды, все ребра которой равны Ъ, является радиусом некоторой сферы. Найдите длину линии пересечения поверхностей сферы и пирамиды (рассмотрите два случая).
10.73. Высота правильной шестиугольной пирами¬ды, все боковые ребра которой равны Ъ и плоский угол при вершине равен 30°, является диаметром не¬которой сферы. Найдите длину линии пересечения поверхностей сферы и пирамиды.
10.74. В пирамиду вписана сфера радиуса 7. Пол¬ная поверхность пирамиды равна 33. Найдите объем пирамиды.
10.75. Около правильной четырехугольной пира¬миды со стороной основания 4 и высотой 4 описана сфера. Другая сфера проходит через все вершины ос¬нования пирамиды и центр описанной сферы. Найди¬те отношение поверхностей сфер.
10.76. Радиус описанной около правильной четы¬рехугольной пирамиды сферы в 10 ООО раз больше бо¬кового ребра пирамиды. Найдите величину плоского угла при вершине пирамиды.
10.77. Радиус описанной около правильной четы¬рехугольной пирамиды сферы в 10 ООО раз больше высоты пирамиды. Найдите величину плоского угла при вершине пирамиды.

10.78. Радиус вписанной в правильную треуголь¬ную пирамиду сферы в 10 ООО раз меньше высоты пи¬рамиды. Найдите величину плоского угла при верши¬не пирамиды.
10.79. Сфера касается всех ребер правильной шес¬тиугольной пирамиды с ребром основания а и высо¬той Л. Найдите радиус сферы.
10.80. Основание правильного тетраэдра DABC яв¬ляется боковой гранью правильной четырехзтгольной пирамиды ABCPQ. Вершина D лежит вне пирамиды ABCDPQ. Определите, лежит ли точка D на сфере, описанной около пирамиды ABCPQ.
Задачи на отыскание наименьшего периметра
10.81. В правильном тетраэдре DABC через реб¬ро ВС проведено сечение наименьшего периметра. Найдите этот периметр, если ребро тетраэдра равно
7з — 1.
10.82. В кубе ABCDAyByCyDy, ребро которого равно 6, точка М лежит на ребре ВуСу и делит его в отноше¬нии 5:1, считая от Ву‘, точка Р лежит на ребре AD и делит его в отношении 1 : 2, считая от А; на ребре AyDy выбрана точка L так, что ломаная MLP имеет наименьшую длину. Найдите:
а) отношение, в котором точка L делит ребро считая от А^;
б) длину ломаной MLP.
10.83. В правильном тетраэдре DABC через высоту DK грани DBC проведено сечение наименьшего пери¬метра. Найдите этот периметр, если ребро тетраэдра равно 2.

10.84. В правильном тетраэдре DABC точка К ле¬жит на ребре ВС и делит его в отношении 1 : 2, считая от С. Через DK проведено сечение наименьшего пери¬метра. Найдите этот периметр, если ребро тетраэдра равно 3.
10.85. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD длина ребра основания равна 6, длина боко¬вого ребра равна 5. Через апофему ML грани MDC проведено сечение наименьшего периметра. Найдите этот периметр.
10.86. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD ребро основания равно а, а плоский угол при
вершине М равен а а< к . Через ребро CD проведено
«у
сечение наименьшего периметра. Найдите этот пери-метр.

Решебник Звавич: векторы, часть 5

Векторы и направленные отрезки. Угол между векторами. Действия с векторами
1.1. Постройте множество точек В таких, что для данной точки А выполняется равенство [АВ! = 2 см.
1.2. Постройте множество точек В таких, что для данной точки А выполняются неравенства 3 < |АВ| < 5.
1.3. В ромбе АВСВ угол ABC равен 40°. Найдите уг¬лы между векторами АВ и AD; АВ и CD; АВ и DA; АВ и АС; СВ иВВ;^ иН5;АС И DB; AD и ВС. Укажите, какие из перечисленных векторов имеют наиболь-шую длину.
1.4. Дана трапеция ABCD, в которой АВ = ВС = = CD — 4, AD = 8. Найдите углы между векторами АВ и AD; АВ и СВ; ВС и ВА, АС и ВВ; СВ и ВС; АС и ВС; ВВ и АВ; ВВ и АВ; СА и ВВ. Укажите, какие из пере-численных векторов имеют наибольшую длину.
1.5. Найдите множество таких точек В, что для данных точек А, М и N угол между векторами АВ и MN равен 80°.

1.6. Найдите множество таких точек В, что |АВ| = р, где А — произвольная точка данной прямой 1ир^ 0.
1.7. Дан вектор АВ ^ 0. Где расположены все такие точки С, что: а)\Ш + ВС\ = \АВ\; б)\АВ-ВС\ = \АВ\?
1.8. Дан вектор АВ 0. Где расположены все такие точки С, что: а) + ВС| = |ВС|; б) ^ — ВС| = |ВС|?
1.9. Определите углы между взятыми попарно век¬торами, если известно, что: а) \АВ\ = |ВС| = [АС|; б) |а| = = 1Ь| = |а — Ь|. Сделайте рисунок.
1.10. Пусть |а| = 5, |Ь| = 13. В каких пределах может изменяться: а) |а + Ь|; б) |а — Ъ\?
1.11. Пусть |а! = 8, |а + Ь| = 2. В каких пределах мо¬жет изменяться |Ь|?
1.12. Пусть |а| = 11, |а — Ь| = 11. В каких пределах может изменяться 1Ь|?
1.13. Пусть |а + Ь| = 7, |а — Ь| = 15. В каких пределах может изменяться: а) |а|; б) |Ь|; в) |а| + |Ь1; г) [а] • jbj?
1.14. Пусть |а| = 3, |Ь1 = 2. В каких пределах может изменяться 1с|, если: а) с = 2а + 5Ь; б) с = 7а — 8Ь?
1.15. Пусть |3а — 5Ь| = 13, |7а — 12Ь| = 7. В каких пре¬делах может изменяться: а) |а|; б) |Ь|; в) |а| — |Ь|; г) |а| • |Ь1?
1.16. Пусть |АВ| = 4, [ас] = 8, угол между векторами АВ и АС равен 60°. Постройте вектор с и измерьте его длину (с помощью измерительной линейки), если с=Ш+АС.
1.17. Пусть |АВ| = 4, 1АС| = 8, угол между векторами АВ и АС равен 90°. Постройте вектор с и измерьте его длину (с помощью измерительной линейки), если с=АВ-АС.
1.18. Пусть 1АВ| = 4, 1АС| = 2, угол между векторами АВ и АС равен 45°. Постройте вектор с и измерьте его длину (с помощью измерительной линейки), если с = ЗАВ + 5АС.

1.19. Пусть ]АВ| = 2, |ACj = 1, угол между векторами АВ и АС равен 120°. Постройте вектор с и измерьте его (с помощью измерительной линейки), если с = 5АВ — 7АС.
1.20. Пусть О — точка пересечения диагоналей па¬раллелограмма ABCD. Найдите ОА + ОВ + ОС + 0D.
1.21. Пусть О — точка пересечения диагоналей четы¬рехугольника ABCD, причем UA ОВ + ОС 4- 0D = 0. Верно ли, что ABCD — параллелограмм?
1.22. Пусть О — точка пересечения медиан пра¬вильного треугольника ABC. Найдите ОА 4- ОВ + UC.
1.23. Пусть О — точка пересечения медиан тре¬угольника ABC, причем ОА 4- ОВ 4- ОС = 0. Верно ли, что треугольник ABC — правильный?
1.24. Пусть ОМ = ЗОВ. Докажите, что точки О, М и Р лежат на одной прямой. Определите взаимное рас¬положение точек 0,М иР.
1.25. Пусть КМ = -ЪМЕ. Докажите, что точки К, М VI Е лежат на одной прямой. Определите взаимное расположение точек К, М пЕ.
1.26. Докажите, что если три различные точки А, В и С лежат на одной прямой, то существует такое число а, что АВ = оАС.
1.27. Дано: |а 4- Ь| = 1, |100а 4- 99Ь| < 1. Оцените ве¬личины: а) |а| и |а — Ъ\; б) |Ь| и |98а 4- 99Ь|.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
1.28. Пусть точка М — середина отрезка АВ, К — произвольная точка, не лежащая на прямой АВ. Раз¬ложите вектор:
а) КМ по векторам КА и КВ;
б) КА по векторам КВ и КМ.

1.29. Пусть А^, Ag, A3, А4 — точки прямой, причем AjAg = AgAg = AgA^. Точка К не принадлежит прямой А1А4. Разложите вектор:
а) XAg по векторам КА^ и КА^;
б) ХАд по векторам ХА^ и ХА4.
1.30. Пусть точка М лежит на отрезке АВ и AM : MB = т: п. Докажите, что
7Ш = • Ш + —^
т + п т + п
1.31. в треугольнике ABC точка X лежит на сторо¬не ВС. Докажите, что АХ = ^ • АВ + ^ • АС.
1.32. а) Пусть а = Зе — 5Ь, т = 2с, п= ^Ъ. Разложи¬те вектор а по векторам тип,
б) Пусть а = IЬ + Зс. Разложите вектор Ь по векто-рам а и с.
1.33. Пусть а — 5т — Зл, Ъ = 1т — 4л, где векторы т и л неколлинеарны. Докажите, что вжто^х а и Ь не- коллинеарны, и разложите векторы лг и л по векто¬рам аиЪ.
1—2— — —
1.34. Пусть (=^а-дЬ, т = 3а- 14Ь, где векторы
а и Ь неколлинеарны. Докажите, что векторы т и1 неколлинеарны, и разложите вектор т по векторам I и а.
1.35. Известно, что AM = ХМВ, X ^ -1. Докажите, что точка М делит отрезок АВ в отношении X. Сде¬лайте рисунки для случаев: а)0<А.<1;б)А.>1;
в)-1< А<0; г)Х<-1.
1.36. Пусть МС = хМА + уМВ, где точка М не ле¬жит на прямой АВ; точка С лежит на прямой АВ. До¬кажите, что х + у = 1.

1.37. Пусть МС = хМА + уМВ их + у=1. Докажи¬те, что точка С лежит на прямой АВ.
1.38. Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении X и точка М не лежит на прямой АВ. Разложите век¬тор МС по векторам МА и MB.
1.39. Пусть точка М не лежит на прямой АВ и МС = хМА + (1 — х)МВ. В каком отношении точка С делит отрезок АВ?
1.40. В трапеции ABCD основание ВС вдвое мень¬ше основания А. Разложите по векторам т = АВ
и й = AD векторы ВС, АС, BD, MjMg (Му и Mg — се-редины ВС и AD соответственно), NyN2 (Ny и JVg — середины АВ и CD соответственно).
1.41. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD угол А — прямой, угол D равен 60°, ВС = CD. Разло¬жите по векторам а = ВС и 6 = CD векторы BD, AD,
АС, MjMg, NyN2, где Му, Mg, Ny и Xg определяются так же, как в задаче 1.40.
1.42. Векторы тип неколлинеарны. При каких значениях д: коллинеарны векторы а vs. Ъ, если а = хт — 1п и Ъ = 8т + Зп?
1.43. Векторы тип неколлинеарны. При каких значе1шях х колли^арны векторы а п Ъ, если а = 15«г + хп и Ъ = хт + 5п?
1.44. Используя векторы, докажите, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
1.45. Используя векторы, докажите, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.
1.46. Докажите, что отрезки, на которые делятся, пересекаясь, диагонали трапеции, пропорциональны ее основаниям.

1.47. В трапеции ABCD продолжения боковых сто¬рон АВ и DC пересекаются в точке Р. Докажите, что PA:PB = PD:PC=AD: ВС.
1.48. Докажите, что в трапеции середины основа¬ний и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.
1.49. Докажите, что в трапеции середины основа¬ний и точка пересечения продолжений боковых сто¬рон лежат на одной прямой.
1.50. Докажите, что в трапеции середины основа¬ний, точка пересечения диагоналей и точка пересече¬ния продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
1.51. Докажите, что медианы треугольника пере¬секаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
1.52. Пусть MQ — точка пересечения медиан тре¬угольника АВС. Докажите, что для любой точки М
выполняются равенства MMq = | (МА + MB + МС) и
MQA + MQB 4- MQC = 0.
1.53. Пусть Му и Mg — точки пересечения медиан треугольников А^В^С^ и AgBgCg соответственно. Дока¬жите, что MjMg = |(AiA2 4- BjBg 4- CjCg).
1.54. В треугольниках AjBjCi и AgBgCg точки пере¬сечения медиан совпадают. Разложите:
а) вектор AjAg по векторам BjBg и CjCg;
б) вектор AjBg по векторам BjCg и АуСу.
1.55. В треугольнике АВС проведена биссектриса угла А, пересекающая сторону ВС в точке Ау\ АВ = с, ВС = а, СА = Ь. Докажите, что:

а) векторы AAj и ^ • АВ + | • АС коллинеарны;
-АВ+^ — АС.
в) Обобщите результаты пунктов а) и б).
1.56. Биссектриса внешнего угла А треугольника ABC пересекает продолжение стороны ВС в точке Aj. Докажите, что АВ : АС = ВА^: А^С.
1.57. В треугольнике ABC точка В^ делит сторону АС в отношении 3:2, считая от точки А; отрезок ВВ^ пересекает медиану АА^ в точке М. Найдите отноше¬ния ВМ : MBj и AM : МА^.
1.58. В треугольнике ABC точка Aj делит сторону ВС в отношении 1 : 2, считая от точки В, точка Bj де¬лит сторону АС в отношении 2:3, считая от точки А. Отрезки AAj и BBj пересекаются в точке М. Найдите отношения ВМ : MBj и AM : MAj.
1.59. В треугольнике ABC точка Bj делит сторону ВА в отношении 3 : 5, считая от точки В, точка Bg де¬лит сторону ВС в отношении 1:2, считая от точки В, медиана ВМ пересекает отрезок BjBg в точке BQ. Най¬дите отношение B^BQ : -BgBg.
1.60. В треугольнике ABC точка Bj делит сторону ВА в отношении 3 : 5, считая от точки В, точка Bg де¬лит сторону ВС в отношении 1:2, считая от В, меди¬ана ВМ пересекает отрезок BjBg в точке Вц. Найдите отношение ВВц: BQM.
1.61. Дан треугольник ABC и прямая а, пересекаю¬щая прямую АВ в точке М, прямую ВС — в точке N и
AM
прямую А.С — в точке Р, Пусть, кроме того, — а, BN СР
NC ~ РА До*^®жите, что ару = 1 (теорема Ме-
нелая).

Векторы и координаты
1.62. Даны точки А(-3; 4) и В(-7; 7). Найдите ко¬ординаты и модули векторов АВ, ВО, ОА.
1.63. Даны точки М(7; 5) й К(-Ъ; 10). Найдите координаты и модули векторов МК, 2КМ, ОМ -I- ОК, ОМ-ОК.
1.64. Даны вектор а{3; 8} и точкаА(7; -1). Найдите координаты точки В, если вектор АВ:
а) равен вектору а;
б) противоположен вектору а.
1.65. Даны вектор Ъ{7; -3} и точка В(7; -2). Найди¬те координаты точки А, если вектор АВ:
а) равен вектору Ь;
б) противоположен вектору Ь.
1.66. Найдите уравнение множества всех таких то¬чек В, что вектор.АВ имеет ту же длину, что и вектор а{7; 1}, если точка А имеет координаты (1; -5).
1.67. Найдите уравнение множества всех таких то¬чек А, что вектор АВ имеет длину, вдвое большую, чем вектор m{-3; 1}, если точка В имеет координаты (-1; 3).
1.68. Найдите координаты единичного вектора, со- направленного с вектором а{х; у} (а ^ 0).
1.69. Даны точки А(х^; уу) и B(Xg; z/g)- Найдите ко¬ординаты всех единичных векторов, коллинеарных вектору АВ.
1.70. Сумма двух векторов а и Ь имеет координаты {-7; 11}, а их разность — координаты {8; — 5}. Найди¬те координаты векторов а и Ь.
1.71. Известно, что с{3; 8}, й{-1; 6}, с = За — 5Ь и d = 2а- ЗЬ. Найдите координаты векторов а и 6.
1.72. Даны векторы а{3; 6}, 6{1; 7}, с{2; 14} и d{-l; -2}. Среди данных векторов укажите пары со- направленных, противоположно направленных, не- коллинеарных.

1.73. Даны точки А(-3; 8), В(7; 11), С(6; 1) и D(-2; 18). Составьте, используя точки А, В, С и D в качестве начала и конца вектора, пары сонаправлен- ных, противоположно направленных и неколлинеар- ных векторов.
1.74. При каком значении х векторы а{3; 8} и Ь{7; х} коллинеарны?
1.75. При каком значении х векторы АВ и АС кол¬линеарны, если известно, что А(3; 8), В(-7; 1) и С(х;11)?
1.76. Дана точка А. Как связаны координаты всех точек В таких, что векторы АВ и а коллинеарны, если А(3; 5)иа{-1; 4}?
1.77. Дана точки А. Как связаны координаты всех точек В таких, что векторы АВ и а коллинеарны, если А(-7; 8}иа{25; 50}?
1.78. Постройте векторы ОА{3; 4}, ОВ{-4; 3}, ОС{-3; -4} и OD{4; -3}. Что представляет собой фигу¬ра ABCD?
1.79. Дан квадрат ABCD; вектор АВ имеет коорди¬наты {3; 4}. Какие координаты могут иметь векторы ВС, CD, DA?
1.80. На графиках функций у = х^ — Зх + 5 и у = -х^ + 2х — 1 найдите такие точки А и В со-ответственно, чтобы вектор АВ имел координаты {-2; -7}.
1.81. На графике функции У = ^ найдите все такие
пары точек А и В, чтобы вектор АВ имел координаты {3; 1,5}.
1.82. Даны векторы а{3; 5}, 6{7; -3} и с{2; 1}. Разло¬жите каждый из данных векторов по двум другим.
1.83. Даны точки А(-3; 5), В(7; — 3) и С(2; 1). Раз¬ложите вектор АВ по векторам АС и ВС.

1.84. Дан треугольник ABC, в котором АВ{3; 4}, ВС{-5; 12}. Найдите координаты векторов АС, ВВ^ (точка Bj — середина отрезка АС), BBg (луч BBg — биссектриса угла ABC, точка Bg лежит на стороне АС).
1.85. Дан треугольник ABC, в котором АВ{3; 4}, ВС{-5; 12}. Найдите координаты вершин треугольни¬ка, если точка пересечения его медиан совпадает с на¬чалом координат.
Скалярное произведение векторов
1.86. Дано: = 6, |б| = 5, ф = 60°. Найдите: а • Ъ;
(а + 6) • а; Ъ • (а — Ь); (а + Ъ) • (а-Ь).
1.87. Дано: \а\ = ЗД, |Ь| = 2, ф = 135°. Найдите: а • Ь; (2а -Ь) • а; Ъ • (2а + Ъ).
1.88. Дано: а • Ъ = -3, |а| = 2, |Ь| = 3. Найдите ф.
1.89. Дано: а • 6 = 5, |а| = 5 72 , |Ь| = 1. Найдите ф.
1.9CL Дано: (а — 3bf = 5, (а + 3bf = 7. Найдите: а ‘ Ъ; \а- ЗЬ|; \а + ЗЬ|.
Х91. Дано: (2а+_6)^ = 6, (2а — Ь)^ = 11. Найдите: а • Ъ; \2а + Ь\; \2а — Ъ\.
1.92. Дано: а{3; 4}, Ъ{-5; 12}. Найдите: а • Ь; |а|; |Ь|; созф.
1.93. Дано: а{-1; 5}, Ь{10; 2}. Найдите: а • 6; ф; \а\; |Ь|; |а-Ь|,
_ Г 1 — г 2 71
1.94. Даны векторы: а 1;~2 б ’ Зайдите:
(а + ЗЬ)(5а — ЗЬ); \а + ЗЬ|; |5а — ЗЬ|; косинус угла меж-ду векторами а + ЗЬ и 5а — ЗЬ.
1.95. Дано: а{2; 3}, Ь{-1; 0}. Найдите значения вы¬ражений: (2а — ЗЬ)(а + 7Ь); |2а — ЗЬ|; \а + 7Ь|; косинус угла между векторами 2а — ЗЬ и а + 7Ь.

1.96. Даны точки А(1; 3), В(2; -5) и С(-3; 1). Най¬дите: АВ • АС; |АВ|; |АС|; косинус утла ВАС.
1.97. Даны точки М(-1; 3), Х(2; 5) и 0(-5; 9). Най¬дите: МК • МО, |Щ; |М0|; угол КМО.
1.98. Дан вектор а{-1; 2}. Найдите проекции векто¬ра а на следующ1ю оси: ось Ох; ось Оу; ось, сонаправ- ленную вектору а; ось, противоположно направлен¬ную вектору а; ось, противоположно направленную вектору Ъ{2; 1}; ось, сонаправленную вектору р{1; 7}.
1.99. Дан вектор р{3; -4}._Найдите проекции на ось, сонаправленную векторур, следующих векторов: а{0; 1}, Ъ{1; 0}, р; -р; q{4; 3}; т{1; -2}.
1.100. В ромбе ABCD угол ВАР равен 60°, BD = 1. Найдите проекцию вектора АВ на ось, сонаправлен-ную: вектору AD; вектору DB; вектору АС; вектору
АР-\Ш.
1.101. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AD, АВ = 3. Найдите проек¬ции векторов АВ, AD, АС на ось, сонаправленную век¬тору BD.
1.102. Упростите выражение
АВ • MN-Ш -PQ + BC’ MN +
+ СА • MN-PQ • ВС + АС • PQ.
1.103. Упростите выражение
(ёу — ёг “ ■ (^1 + ^2 + ёд + ё^),
где ё^ — единичные векторы, + фд = 180°, где ф^ — угол между векторами ёу и ё^, ф2 — угол между векто¬рами ёз и ёд.
1.104. Возможно Л1^дл^тр^ ненулевых векторов соотношение а • (& • ё) = & • (а • ё) = ё • (а • Ь)?
1.105. Возможно л^ для трех ненулевых векторов соотношение а • (Ь + с) = а • (& + 2с)?

1.106. В треугольнике АВС известны стороны АВ = 3, АС = 4, ВС = 5. Найдите: АВ • АС; ВА • ВС; СА • СВ; косинусы углов А, В и С.
1.107. В треугольнике АВС известны стороны АВ = ВС= 13, АС = 10. Найдите: Ш. — ВС; АВ • АС; СВ • СА, косинусы углов В, А и С.
1.108. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сто¬рон.
1.109. Докажите, что косинус угла А, противоле¬жащего стороне а треугольника АВС, вычисляется по
^2 ^ ^2 _ ^2
формуле cos А = (Ь и с — две другие сто¬
роны треугольника).
1.110. В треугольнике АВС со сторонами а, Ъ и с проведена медиана к стороне а. Докажите, что
1.111. Две медианы треугольника взаимно перпен¬дикулярны и равны 6 и 8. Найдите третью медиану.
1.112. В треугольнике АВС известны стороны АВ = 6, АС = 8, ВС = 7. Найдите биссектрису ААу.
1.113. Докажите, что если АА^ — биссектриса угла А треугольника АВС, то АА^ = АВ • АС — АуВ • АуС.
1.114. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка Aj так, что ВАу :АуС = 2:3. Найдите AAj, если АВ = 6, АС = 8, угол А равен 60°.
1.115. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны
-272 и 4 соответственно, угол В равен 135°. Какой угол составляет со стороной АС медиана ВВу? (Ука-жите косинус угла.)
01.2 , о 2 2
2Ь + 2с — а
4

1.116. Пусть точка — образ точки Ро(1; 0) при повороте вокруг точки 0(0; 0) на угол а, точка Рр — образ точки PQ при повороте вокруг точки О на угол Р (О < Р < а < 90°). Выразите скалярное произведение ОР^ • ОРр через координаты векторов и через коси-нус угла между ними. Сравнивая результаты, дока-жите, что cos (а — Р) = cos а cos Р + sin а sin р.
2. Декартовы координаты на плоскости
Координаты на прямой
2.1. Найдите расстояние между точками: а)А(З) и В(-7); 6)A(XI)HB{X2).
2.2. Найдите на прямой все точки А{х) такие, что расстояние от них до точки В(2): а) равно 3; б) меньше 3.
2.3. Как расположены точки Aj(x4), ^2(^2) и Ад(л:з), если — Жд| + I^Cg — Xgl = \Xl — хД
2.4. Как расположены точки Ai(x4),A2(^2) и если — лгд| — l^g — X3I = — Xgl?
2.5. Пусть A{xi), 5(^2), С(Жд). Найдите отношение:
а)АВ:ВС; б) АС’.СВ.
2.6. Найдите координаты такой точки А{х), что АВ=АС, где В(3), С(-11).
2.7. Найдите координаты середины отрезка АВ, ес¬ли A{Xi), В{х^.
2.8. Известно, что А(3), В(8). Найдите координаты всех таких точек М, что AM : MB = 4:1.
2.9. Даны точки А(7) и В(-11). Найдите координа-ты всех таких точек М, для которых AM : MB = 4:5.
2.10. Точка М делит отрезок АВ в отношении X, т. е. AM = X • MB.

а) Докажите, что координата точки М равна
б) Где находится точка М, если: Л = 1; Л > 1; 0<Л<1; -1<Л<0; Л<-1?
2.11. Из точек А(8) и В(20) одновременно стартуют два тела, отношение скоростей которых равно 3. Най¬дите координату места встречи, если:
а) тела движутся навстречу друг другу;
б) тело, вышедшее из точки А, догоняет тело, дви-жущееся из точки В.
2.12. а) Докажите, что проекция середины отрезка АВ на ось Ох{Оу) есть середина отрезка А^В^(АуВу) — проекции данного отрезка на ось Ох (Оу).
б) Пусть А(Ху,уу), B(xg; z/g)’ Л/— середина отрез-
2.13. Даны точки А(3; 8) и М(7; -5). Найдите коор¬динаты такой точки В, что М — середина отрезка АВ.
2.14. Пусть М(7; 3) — точка пересечения диагона¬лей параллелограмма ABCD, где А(0; 1) и В(2; 0). Найдите координаты остальных вершин.
2.15. Точки А(1; 3); В(2; 5) и С(-1; -5) — три после¬довательные вершины параллелограмма ABCD. Най¬дите координаты точки М пересечения диагоналей и четвертой вершины параллелограмма.
2.16. Найдите координаты такой точки М, которая вместе с точками N(0; 3), Р(7; 0) и 0(0; 0) образует па¬раллелограмм (точки можно брать в различной после¬довательности).
Координаты на плоскости
ка АВ. Докажите, что

2.17. Точка А(7; 5) — вершина треугольника ABC, точки Ву{3; 6) и Ах(-1; -7) — середины сторон АС и ВС соответственно. Найдите координаты остальных вершин.
2.18. Точки Ах(-3; 8), Ву{7\ 5) и Cj(6; 8) — середи¬ны сторон ВС, АС и АВ треугольника ABC соответ¬ственно. Найдите координаты вершин треугольника.
2.19. Даны точки А(7; 26), В(-1; 2) и С(-3; -4). Найдите АВ, АС, ВС и докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, причем В лежит между А и С. В каком отношении точка В делит отрезок АС, считая от точки А?
2.20. Даны точки А(-3; 6), В(9; 2) и С(-9; 8). Най¬дите АВ, АС, ВС и докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой. В каком отношении точка В делит отрезок АС, считая от точки А?
2.21. Лежат ли на одной прямой точки:
а)М(1;-4),ЛГ(2; -1)иХ(8;17);
б) Q(-3; 1), В(0;11)иВ(3; 19)?
2.22. Даны точки А(3; 5) и В(11; -11). Найдите точ¬ку М, делящую отрезок АВ; а) в отношении 0,6;
б) в отношении -3.
2.23. В каком отношении точкаА(1; -6) делит отре¬зок ВС, где В(0; -16) и С(-5; -66), считая от точки В?
2.24. В каком отношении точка М(1; 1) делит отре¬зок NK, где Л/(4; -1) и Х(7; -3)?
2.25. а) Пусть точки А(хх; у у), В(х2′, у 2) и C(xg; 1/3) ле-
„ тт V2~Vz Vi~Vz
жат на одной прямой. Докажите, что = .
^2 ^3 “ ^3
б) Сформулируйте и докажите утверждение, обрат¬ное утверждению пункта а).
2.26. При каком значении t точки А(3; 8), В(9; t) и С(-5; 0) лежат на одной прямой?

2.27. При каком значении t точки M(t; -4), N{2; -t) и К{8; 17) лежат на одной прямой?
2.28. В трапеции ABCD известны координаты вер¬шин: А(0; 0), В(1; 1), С(3; 1), D(8; 0). Найдите:
ВС
а) отношение длин оснований Л = ^ ;
б) координаты точек, делящих диагонали СА и BD в отношении X (см. пункт а)), считая от С и В. Сделай¬те вывод из полученных результатов.
2.29. Докажите, что для того чтобы точки А(х^; уу), B(Xg; У2), C(Xg; z/g) и D(x^; г/4), не лежащие на одной прямой, были последовательными вершинами парал¬лелограмма ABCD, необходимо и достаточно выпол¬нение условий
Xj +Xg = Xg + X4,
У1 + Уг = У2 + У4-
2.30. Найдите координаты двух вершин квадрата, если известны координаты двух других его вершин А(-4; 0)иВ(4; 0).
2.31. Найдите координаты двух вершин квадрата, если известны координаты двух других его вершин А(8; -6)иВ(-8; 6).
2.32. Найдите координаты третьей вершины равностороннего треугольника АВС, если А(-4; 0), В(4; 0).
2.33. Найдите координаты третьей вершины равностороннего треугольника АВС, если А(8; -6), В(-8; 6).
2.34. Найдите координаты двух вершин ромба с уг¬лом 60°, если известны две другие его вершины А(-4; 0) и В(4; 0).
2.35. Найдите координаты двух вершин ромба с уг¬лом 60°, если известны две другие его вершины А(8; -6) и В(-8; 6).

2.36. В треугольнике ABC известны координаты вершин А(0; 0), С(2р; 0) и В(2т; 2л), где р > 0. Най¬дите:
а) стороны АВ, АС и ВС;
б) медианы АА^, ВВ^иСС^.
2.37. Используя результаты задачи 2.36, докажи¬те, что:
2.38. а) Докажите, что точки А(0; 0), В(лг; л), С(т + а; л) и D{a; 0), где а > О являются вершинами параллелограмма АВСВ. Найдите стороны и диагона-ли этого параллелограмма.
б) Докажите, что в параллелограмме сумма квад-ратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.
2.39. Найдите третью вершину равнобедренного треугольника ABC, где В(3; 7) и С(-1; -5), если она лежит на оси абсцисс.
2.40. Найдите третью вершину равнобедренного треугольника ABC, где В(3; 7) и С(-1; -5), если она имеет равные по абсолютной величине координаты.
2.41. Докажите, что треугольник ABC — прямо¬угольный, если известно, что А(0; 5), В(3; 6) и
2.42. Докажите, что треугольник ABC — прямо-угольный, если известно, что А(5; -2), В(8; -5) и
2.43. Найдите длину отрезка, концы которого ле-жат на осях координат, а серединой является точка
а)АА^ = т^
2Ь^+ 2с^~ 4
, ВВ\ = т\
2 2Ь^+ 2с^~ а
■Ь 4
2а^ + 2Ъ^ — 4
6) ml + ml + ml=\{a^ + b^ + c\
С(-7; 26).
С(11; 4).
М(-5; 11).

2.44. Найдите длину отрезка, один из концов кото¬рого имеет ординату 8, а другой абсциссу 6, если точ¬ка М(-1; 4) отрезка делит его на части, отношение длин которых равно 5.
2.45. На прямой АВ, где А(3; 8) и В(-1; 5), найди¬те точку с абсциссой 0.
2.46. На прямой АВ, где А(-7; 4) и В(11; 3), най¬дите точку с ординатой 1.
Уравнение прямой
2.47. Найдите точки пересечения прямой, за-данной уравнением 5х 4- 7у — 35 = О, с осями коорди-нат.
2.48. Найдите точки пересечения прямой, задан¬ной уравнением 8х 4- 2у 4- 7 = О, с осями координат.
2.49. Напишите общее уравнение прямой, парал¬лельной оси абсцисс и проходящей через точку М(3; -8).
2.50. Напишите общее уравнение прямой, парал¬лельной оси ординат и проходящей через точку М(-4; 11).
2.51. Запишите уравнение прямой 8х — Ну 4- 88 = = О как уравнение в отрезках и постройте ее.
2.52. Запишите уравнение прямой Зх 4- 7у — 21 = О как уравнение в отрезках и постройте ее.
2.53. Запишите уравнение прямой Зх — 6у 4- 11 = О в виде уравнения с угловым коэффициентом и с по¬мощью микрокалькулятора найдите угол, образован¬ный данной прямой с положительным направлением оси Ох.
2.54. Запишите уравнение прямой 8х 4- 4у — 3 = О в виде уравнения с угловым коэффициентом и с по¬мощью микрокалькулятора найдите угол, образован¬

ный данной прямой с положительным направлением оси Ох.
2.55. Напишите общее уравнение прямой, если она проходит через точки А(2; 7)иВ(-3; 7).
2.56. Напишите общее уравнение прямой, если она проходит через точки К(-5; 1) и М(-5; 83).
2.57. Напишите общее уравнение прямой, если она проходит через точки £(-8; 0) и Я(0; 7).
2.58. Напишите общее уравнение прямой, если она проходит через точки Р(3; -5) и 1Г(8; 1).
2.59. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(-3; 5) и имеющей угловой коэффици¬ент й = 7.
2.60. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку £(0; -1) и имеющей угловой коэффици¬ент k = -3.
2.61. Найдите угловой коэффициент прямой, про¬ходящей через точки К(2; 5) и М(3; 5).
2.62. Найдите угловой коэффициент прямой, про¬ходящей через точки 0(-3; 8) и Р(-3; -3).
2.63. Найдите угловой коэффициент прямой, про¬ходящей через точки А{7; 7) и В(8; 8).
2.64. Найдите угловой коэффициент прямой, про¬ходящей через точки £(-1; 3) и Я(3; -1).
2.65. Найдите зфавнение прямой, проходящей че¬рез точку М(2; -7) под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.
2.66. Найдите уравнение прямой, проходящей че¬рез точку 1Г(-5; 4) под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс.
2.67. Запишите уравнение пучка прямых, прохо¬дящих через точку М(-3; 5); выберите из них пря¬мую, проходящую через начало координат.

2.68. Запишите уравнение пучка прямых, прохо¬дящих через точку М(-3; 5); выберите из них пря¬мые, пересекающие ось Оу на расстоянии 2 от начала координат.
2.69. Запишите общее уравнение прямой, задан¬ной параметрически:
x = 3-2t,
■ у = 5 + 3t (t е R).
2.70. Запишите общее уравнение прямой, задан¬ной параметрически:
х = 7 — 5t,
‘ y = 8t{te R).
2.71. Запишите параметрические уравнения пря¬мой 5х — Зу + 8 = 0.
2.72. Запишите параметрические уравнения пря¬мой 7х + Зу — 11 = 0.
2.73. Определите взаимное расположение прямых
Зх — 4у + 7 = О и 6х — 8у + 1 = 0.
2.74. Определите взаимное расположение прямых
5х + Зу — 1 = О и 8х — Зу + 2 = 0.
2.75. Определите взаимное расположение прямых
7х — 8у + 2 = О и 4у — 3,5х -1 = 0.
2.76. Определите взаимное расположение прямых
у = Зх + 7 и у = Зх-5.
2.77. Определите взаимное расположение прямых у = -2х- 11 и у = 5х + 3.
2.78. Прямая задана уравнением у = 6х — 3. Со-ставьте уравнение прямой:
а) проходящей через точку М(7; -11) параллельно данной прямой;
б) проходящей через начало координат параллель-но данной прямой.

2.79. Найдите точку пересечения прямых
7х + Зу — 10 = О и 5х — 2у — 3 = 0. 2.80. Найдите точку пересечения прямых
у = Зу — 5 и у = 8х 4- 7.
2.81. Найдите точку пересечения прямых
2.82. Найдите точку пересечения прямых
и
где и е R.
2.83. Напишите уравнение прямой, перпендику¬лярной прямой Зх — 4у 4- 5 = О и проходяш;ей через точку М(-7; 8).
2.84. Напишите уравнение прямой, перпендику¬лярной прямой 5х 4- Зу — 1 = О и проходящей через точку М(1; 1).
2.85. Докажите, что прямые ах 4- Ьу 4- с = О и Ьх — ау + d = О перпендикулярны.
2.86. Докажите, что прямые
перпендикулярны.
2.87. Составьте уравнения прямых, содержащих стороны, медианы и высоты треугольника ABC, если
2.88. Составьте уравнения прямых, содержащих стороны, медианы и высоты треугольника ABC, если
2.89. Найдите точку пересечения прямой, задан-ной уравнением Зх — 4у 4- 2 = О, с перпендикуляром, опущенным на нее из точки М(1; -1).
А(1; 3), В(1; 5), С(2; 7).
А(0; 3), В(2; 4), С(8; -7).

2.90. Найдите расстояние от точки М(1; -1) до пря¬мой Зх — 4у + 2 = 0.
2.91. Докажите, что расстояние от точки M(xq; у^) до прямой ах + by + с = О можно вычислить по фор-
\ахо + Ьуо + с
Г2 . ,2
л/а
муле р
1а“ + А
2.92. Найдите расстояние от точки Л^(-1; 3) до пря¬мой 5х ~ 12у -11 = 0.
2.93. Найдите расстояние от точки К(2; 7) до пря¬мой 24х + 7у — 48 = 0.
2.94. Найдите расстояние между прямыми
Зх — 4у + 11 = О и Зх — 4г/ — 5 = 0.
2.95. Найдите расстояние между прямыми
у = Зх + 7 и у = 5х-8.
2.96. Найдите геометрическое место точек М та¬ких, что АМ = ВМ, если: а)А(3; -7), В(5; 11);
б)А(2;-4), В(-2;8).
2.97. Дан треугольник АВС, гдеА(1; 3), В(5; -7) и С(-1; 9). Найдите уравнения прямых, содержащих его медианы, и покажите, что все они проходят через одну точку.
2.98. Дан треугольник АВС, где А(1; 3), В(5; -7), С(-1; 9). Найдите уравнения прямых, содержащих его высоты, и покажите, что все они проходят через одну точку.
2.99. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(4; 6) и отсекающей от положительных полуосей координат треугольник с суммой катетов, равной 20.
2.100. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(-4; 8) и отсекающей от положитель¬ных полуосей координат треугольник с суммой кате¬тов, равной 8.

2.101. Составьте уравнение множества точек М, равноудаленных от прямых
Зх — 4у + 7 = О и 4х + Зу — 8 = 0.
2.102. Составьте уравнение множества точек М, равноудаленных от прямых
у = Зх-2 и у = -3х + 3.
2.103. Дана трапеция ABCD, где А(0; 0), В(5; 8), С(5; 12)иВ(0; 24).
а) Составьте уравнения прямых, содержащих ее диагонали, и найдите точку их пересечения М.
б) Составьте уравнения прямых, содержащих ее боковые стороны, и найдите точку их пересечения К.
в) Докажите, что прямая МК проходит через сере-дины оснований AD и ВС трапеции.
2.104. На прямой 5х — Зу + 2 = О возьмите две про- извольные точки А и В. Запишите координаты векто¬ра АВ, выясните зависимость между его координата¬ми и коэффициентами при х и у в уравнении прямой.
2.105. Даны точки А(-7; 8), В(5; 3), С(х; у). Запи- шите зависимость между х и у, если векторы АС и АВ коллинеарны. Запишите уравнение прямой, проходя¬щей через точки А и В. Сравните полученные резуль¬таты.
2.106. Дано уравнение прямой ах + Ьу + с = 0. Най¬дите координаты какого-либо вектора, коллинеарно- го данной прямой.
2.107. Дан вектор m{mi’, та)* Напишите уравнение какой-либо прямой, коллинеарной данному вектору.
2.108. Прямая задана параметрически:
X = Хц + Р<,
где t е R. Найдите координаты какого-либо вектора, коллинеарного данной прямой.

2.109. Дан вектор т{ту] т^. Напишите парамет¬рические уравнения прямой, проходящей через точку A{XQ; УО) и коллинеарной данному вектору.
2.110. Даны прямые у = 7х — 5 т^у = 7х 4- 11. Найдите координаты такого вектора АВ, что точка А лежит на первой прямой, точка В — на второй пря-мой, и вектор АВ коллинеарен вектору а{1; 2}.
2.111. Найдите координаты вектора ОА, если он со- направлен с вектором Ь{1; 2}, точка О имеет координа¬ты (0; 0), а точка А лежит на параболе у = — 4х 4- 5.
2.112. Найдите расстояние от точки М(3; 8) до пря¬мой Зх — 4у — 1 = 0.
2.113. Даны уравнения прямых: Зх 4- 4у — 9 = О и 12х 4- 9у — 8 = 0. Найдите уравнения биссектрис уг¬лов, образованных этими прямыми.
2.114. Выведите формулу для определения коси¬нуса угла между прямыми а^х + Ъуу 4- = О и OgX 4- fcgJ/ 4- Cg = 0.
Уравнение окружности
Составьте уравнение окружности по следующим дан-ным (2.115—2.120).
2.115. Центр 0(3; -4), Д = 5.
2.116. Центр 0(4; 8), точка М(1; 3) лежит на ок¬ружности.
2.117. Отрезок АВ, гдеА(3; 5) и В(7; -11), является диаметром окружности.
2.118. Отрезок МР, где М(1; 7) и Р(2; 3), является радиусом окружности.
2.119. Отрезок АВ, где А(2; 0) и В(1; л/З ), является хордой окружности, длина которой равна радиусу.
2.120. Три точки М(3; 4), N{0\ 5) и Х(5; 0) лежат на окружности.

Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением (2.121—2.124):
2.121. — X + = 0.
2.122. х^ + 6х + у^-8у = 7.
2.123. + Зх + / — 5у = 2.
2.124. 2х^ — X + 2/ + 4у — 1 = 0.
2.125. Как расположены точки А(2; -1), В(1; 0) и С(3; -8) относительно окружности, заданной уравне¬нием х^ + Зх + у^ — 5у = 16?
2.126. Как расположены точки А(-1; 2), В(-3; 8), С(10; 20) относительно окружности, заданной уравне¬нием х^ -5х + у^ + у = 96?
2.127. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты вершины прямого угла треугольника с гипотенузой АВ, если А(3; 5), В(7; -11).
2.128. Найдите условие, которому удовлетворяют координаты середины гипотенузы прямоугольного треугольника с вершиной прямого угла С(3; 5) и дли¬нами катетов 2 и 8.
2.129. Сколько точек с целочисленными координа-
9 9
тами лежит на окружности: а) х — 6х -Ь у -Ь 8у = 0; б) х^ + / = 10?
2.130. Найдите геометрическое место точек К та¬ких, что КА = ЗКВ, где А(1; 0), В(5; 0).
2.131. Найдите геометрическое место точек К та¬ких, что КА = \ КВ, где А(1; 0), В(5; 0).
2.132. Даны точки А(0; 0), В{Ъ; 0). Найдите на пря¬мой АВ все такие точки М, что AM = ХМВ, где Я > О,
Я 5^ 1.
2.133. Даны точки А(0; 0) и В(Ь; 0). Найдите на плоскости все такие точки М, что AM = ХМВ, где Я>0, Я?^ 1.

2.134. Найдите уравнение множества центров ок¬ружностей радиуса г, касающихся данной окружнос¬ти: а) г = 5, = 4; б) г = 4, х^ + у^ = 36.
2.135. Найдите уравнение множества середин от¬резков длины а, концы которых лежат на осях коор¬динат.
2.136. Найдите уравнение множества середин от¬резков, один конец которых имеет абсциссу 2, а дру¬гой — ординату 3, если длина отрезка равна 2.
2.137. Составьте уравнение множества точек, сум¬ма квадратов расстояний от которых до точек А(3; 5) и В(7; -11) постоянна и равна: а) 234; б) 136.
2.138. Опишите множество точек, сумма квадра¬тов расстояний которых до двух данных точек посто¬янна,
2.139. Точка М(3; 4) лежит на окружности, задан¬ной уравнением х^ + у^ = г^, и является вершиной вписанного в нее квадрата. Найдите радиус окружнос¬ти и координаты остальных вершин квадрата.
2.140. Точка М(0; -1) лежит на окружности х^ — 2х + у^ + 2у + 1 = О и является вершиной вписан¬ного в нее квадрата. Найдите координаты остальных вершин квадрата.
2.141. Точка Р{1; 0) лежит на окружности с цент¬ром в начале координат и является вершиной вписан¬ного в эту окружность правильного треугольника. Най¬дите координаты остальных вершин треугольника.
2.142. Решите задачу 2,141, если в окружность вписан правильный шестиугольник.
2.143. Решите задачу 2.141, если в окружность вписан правильный двенадцатиугольник.
2.144. Решите задачу 2.141, если точка Р имеет координаты (-1; 0), а центр окружности — точка О — (0; 0).

2.145. Решите задачу 2.141, если центр окружно¬сти — точка А(2; 0), а точка Р имеет координаты (1; 0).
2.146. Решите задачу 2,141, если точка Р имеет ко¬ординаты (0; 1), а центр окружности — точка А(0; 2).
2.147. Решите задачу 2,141, если центр окружнос¬ти — начало координат, а точка Р имеет координаты (2; 0).
2.148. Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до трех точек (0; 0), (1; 1), (2; 2) равна: а) 7; б) 2,
2.149. Докажите, что множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до данных трех то-чек постоянна, есть либо пустое множество, либо точ¬ка (центроид трех данных точек), либо окружность, центром которой является центроид этих трех точек.
2.150. Пусть даны п различных точек плоскости. Докажите, что множеством точек, сумма квадратов расстояний от которых до данных п точек есть посто¬янное число, является: либо пустое множество, либо точка (центроид данных точек), либо некоторая ок¬ружность, центр которой — центроид данных точек.
(Центроидом п точек на координатной плоскости называется точка, координаты которой равны средне-му арифметическому соответствующих координат данных точек.)
2.151. Выясните взаимное расположение окруж¬ностей — 6х + 8у = О и + 4х — 6у = 3.
2.152. Каково взаимное расположение окружнос¬тей х^ + у^ — 4х + 2у + 1 = О и х^ + у^ + 2х — 6у + 1 = 0.
2.153. Составьте уравнение окружности радиуса 5,
касающейся окружности х^ + у^ — 10у = О в точке М(3; 1).
2.154. Составьте уравнение окружности радиуса 10,
касающейся окружности х^ + (у — 5)^ = 25 в точке М(3; 1).
6 Геометрия. 8—11 кл.

2.155. Дана окружность = 4 и точка М.
Найдите все такие точки N, что середина отрезка MN лежит на данной окружности, если: а) М(1; 0);
б) М(3;3).
2.156. Дана окружность х^ + у^ = 4 и точка М. Найдите все такие точки N, что М является сере¬диной отрезка, один из концов которого N, а другой лежит на данной окружности, если: а) М(3; 0);
б)М(1; 1).
2.157. Найдите расстояние от точки М(3; -1) до ок¬ружности х^ + 2х + у^ — 4у = 11.
2.158. Найдите расстояние от точки 0(0; 0) до ок¬ружности х^ + 6х + у^ — 10у = 2.
2.159. Найдите все точки, удаленные от окружнос¬ти х^ + у^ = 9 на расстояние р = 1.
2.160. Найдите все точки, удаленные от окружное-
п о
ти X + у = 9 на расстояние р = 4.
2.161. Найдите все точки, удаленные от окружное-
О Q
ти X + у = 9 на расстояние р = 3.
2.162. Какое множество точек задает уравнение
+ х^у^ = 36x^7
2.163. Какое множество точек задает уравнение
х’‘ + 2xV^ + у’‘ — 16 = О?
2.164. Какое множество точек задает уравнение х^ + у’^ + 2xV — 26х^ — 26у^ + 25 = О?
2.165. Какое множество точек задает уравнение
(X — 2yf + (2х + yf = 5?
2.166. На окружности х^ + у^ = 1 взята точка М та¬кая, что Z МОР = 30°, где О — начало координат, Р(1; 0) и ордината точки М положительна. Найдите координаты вектора ОМ.

2.167. На окружности = 1 найдите такую
точку Р, чтобы вектор ОР был сонаправлен вектору а{3; 4}. _
2.168. Найдите координаты таких векторов OPq, ОРу, …, ОРу, что О— начало координат, Ро(1; 0), а точки Ру лежат на окружности = 1 и делят ее на 8 равных частей (нумерация ведется против часо-вой стрелки).
2.169. Найдите координаты таких векторов OPq, ОРу, …, ОРуу, что О— начало координат, PQ(1; 0),
а точки Ру делят окружность х^ + у^ = 1 на 12 равных частей (нумерация ведется против часовой стрелки).
Прямая и окружность
2.170. Найдите общие точки прямой Зх — 5у = 8 и окружности (х — 1)^ + (у + 1)^ = 81.
2.171. Найдите длину хорды окружности (х — 1)^ -1-
+ {у + 1)^ = 81, лежащей на прямой Зх — 5у = 8. Мож-но ли решить эту задачу, не выполняя задания 2.170?
2.172. Найдите общие точки прямой Зх + 2у = 7 и окружности х^ — Зх + у^ + 5у = 12.
2.173. Найдите общие точки прямой 2х + 5у = 20 и окружности х^ + X + у^ = 1.
2.174. Найдите общие точки прямой
и окружности х^ — Зх + у^ + 5у = 12. 2.175. Найдите общие точки прямой
и окружности х^ + X + у^ = 1.

2.176. При каких значениях k прямая у = kx имеет
с окружностью — 4х + + 3 = о одну общую точ¬
ку, две общие точки, не имеет общих точек?
2.177. При каких значениях k прямая у = kx — 5
Q Q
имеет с окружностью х + у = 9 одну общую точку, две общие точки, не имеет общих точек?
2.178. Среди прямых, проходящих через одну из данных точек: М(2; 2), ЩЗ; 4), Р(10; 0), найдите те,
О о
которые пересекают окружность х + у =25 в двух точках, касаются окружности, не имеют с окружно-стью общих точек.
2.179. Среди прямых, проходящих через одну из данных точек: Р(4; 3), N(0; 0), М(0; 5), найдите те, ко-
О о
торые пересекают окружность х -10х + у =0в двух точках, касаются окружности, не имеют с окружно-стью общих точек.
2.180. Напишите уравнение касательной, прове¬денной к окружности х^ + (у — 1)^ = 10 через точку: а)М(1;4); б)Х(3;0).
2.181. Напишите уравнение касательной, прове¬денной к окружности х^ + (у — 1)^ = 10 через точку:
а)М(7;2); б)^Г(6;3).
2.182. Напишите уравнение всех общих касатель¬ных окружностей х^ + у^ = 1 и (х — 4)^ + у^ = 4.
2.183. Напишите уравнение всех общих касатель¬ных окружностей х^ + у^ = 4 и (х — 3)^ + у^ =1.
2.184. Окружность х^ + у^ — 6х + 8у = О пере-сечена прямой. Найдите длину образовавшейся хор-ды, если прямая задана уравнением: а) 4х + Зу = 0;
б) X + у — 6 = 0.
2.185. Найдите уравнение окружности радиуса R, проходящей через точку М и касающейся:
а) оси ординат, если М(2; 3) и 7? = 5;
б) оси абсцисс, если М(1; -1) и 7? = 5.

2.186. Найдите уравнение окружности радиуса 1, касающейся:
а) осей координат;
б) прямых х + у = 0их-у = 0.
2.187. Составьте уравнение множества центров ок¬ружностей, проходящих через две данные точки:
а)А(1;-7)иВ(-3;5);
б)А(-1;4)иВ(9;0).
2.188. Составьте уравнение окружности с центром на данной прямой, проходящей через точки А и В:
а) 2х — Зу — 6 = О, А(2; 0), В(4; 0);
б)2х + Зу-5 = О, А(5; -3), В(-3; 5).
2.189. Составьте уравнение окружности, проходя¬щей через точки А(3; 4), В(5; 0), С(-4; 3).
2.190. Составьте уравнение окружности, проходя¬щей через точки Е(1; 12), £(14 -1), Р(6; 11).
2.191. Составьте уравнение множества центров всех окружностей радиуса 5, отсекающих на оси ор¬динат хорду длиной 6.
2.192. Составьте уравнение множества центров всех окружностей радиуса 13, отсекающих на оси абс¬цисс хорду длиной 10.
2.193. Составьте уравнение множества центров всех окружностей радиуса 4, касающихся прямой
Зх-4у + 1 = 0.
2.194. Составьте зфавнение множества центров всех окружностей радиуса 2, касающихся прямой
7х-+24у — 13 = 0.
2.195. Составьте уравнение множества центров всех окружностей, касающихся прямых
Зх-4у-1 = 0 и 5х-1-12у-+5 = 0.
2.196. Составьте уравнение множества центров всех окружностей, касающихся прямых
у = 2 и 4х-1-Зу-2 = 0.

2.197. На окружности = 25 найдите точку:
а) ближайшую к точке М(6; 8);
б) наиболее удаленную от точки Х(8; 6).
2.198. Найдите расстояние между прямой, задан¬ной уравнением Зх + 4у — 12 = О, и окружностью:
а) х^ + (у + 2f = 9;
б) (X-2)2 +(у-1)2 = 0,01.
2.199. Через точку М(3; 4) проведена прямая, вы-
О Q
секающая на окружности х + у =100 хорду, кото¬рая точкой М делится пополам. Составьте уравнение прямой и найдите длину хорды.
2.200. Через точку М(5; 12) проведена хорда, наи¬более удаленная от центра окружности х2 + у^ = 194. Найдите длину этой хорды.
2.201. Найдите уравнение прямой, содержащей общую хорду окружностей
х2 + у^ = 25 и (х — 8)2 + у2 = 25.
2.202. Найдите уравнение прямой, содержащей об¬щую хорду окружностей
х2 + (у-5)2 = 17 и (X — 2)2 + (у + 4)2 = 26.
2.203. Найдите уравнение всех касательных к ок-
Q р
ружности X + у =16:
а) параллельных прямой х + Зу = 0;
б) пересекающих оси координат на равном расстоя¬нии от начала координат.
2.204. Напишите уравнение прямой, перпендику¬лярной вектору m{3; -8} и проходящей через точку А(7; -3).
2.205. Напишите уравнение касательной к окруж-
9 9
ности X — 6х + у + 8у = о в точке М(-1;-1).

Разные задачи
2.206. Даны две точки А и В. Найдите геометриче¬ское место точек М таких, что:
а)АМ^ + 2ВМ^ = 6АВ^;
б) 21АМ^ — ВМ^ = 2ЛВ^
2.207. Даны две окружности, имеющие радиусы Щ и 7?2» расстояние между центрами которых равно а. Найдите геометрическое место точек таких, что от¬резки касательных, проведенных из этих точек к двум данным окружностям, равны (исследуйте от¬вет).
2.208. Даны две окружности, имеющие радиусы 2 и 1 и касающиеся друг друга внешним образом. Най¬дите геометрическое место точек таких, что длина от¬резка касательной, проведенной из этих точек к пер¬вой окружности, в 2 раза больше длины отрезка каса¬тельной, проведенной ко второй окружности.
2.209. Найдите множество точек, отношение рас¬стояний от которых до двух данных пересекающихся прямых есть постоянное положительное число.
2.210. Окружности радиусов Ry и Eg касаются друг друга внешним образом. Найдите длину отрезка их общей внешней касательной, заключенного между точками касания.
2.211. Окружности радиусов 7?^ и 7?g имеют общую внзсгреннюю касательную, расстояние между точка¬ми касания равно а. Найдите расстояние между цент¬рами окружностей.
2.212. Найдите множество точек М(х; у), равно¬удаленных от точки А(0; 0,25) и от прямой у = -0,25.
2.213. Дан квадрат ABCD со стороной 2^2 . Найди¬те множество таких точек М, что \АМ — СМ\ =АВ.

2.214. Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин равностороннего треугольника со стороной а равна 2а^.
2.215. Докажите, что для любой точки окружнос¬ти, описанной около квадрата со стороной а, сумма квадратов расстояний до четырех его вершин есть ве-
О
личина постоянная и равная 4а .
2.216. Докажите, что для любой точки окружнос¬ти, вписанной в правильный треугольник, сумма квадратов расстояний до его вершин постоянна. Най¬дите значение этой суммы,
2.217. Найдите множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до вершин данного квадрата со стороной а равна За^.
2.218. Какое наименьшее значение может прини¬мать выражение
— 6х + 8у + 25 +
+ Jx^ + + 2х — 4у + 5?
2.219. Найдите все точки окружности х^ + у^ = 25, сумма расстояний от которых до точек А(0; 7) и В(7; 0) наименьшая.

Решебник Звавич 11 класс по геометрии, часть 4

11 класс
KM-ll-l
Повторение
Подготовительный вариант
1. В квадрате ABCD со стороной 12 точка К лежит на стороне CD так, что СК = 3. Прямая КМ перпенди¬кулярна плоскости квадрата, длина отрезка КМ рав¬на 4 7з . Найдите:
а) угол между прямой BD и плоскостью MCD;
б) двугранный угол M(AB)D;
в) расстояние между прямыми МК и АС;
г) угол между прямыми MD и АС.
2. В правильной пирамиде МАВС с основанием АБС угол между боковым ребром AM и высотой МП равен X. При каком значении х отношение радиуса описанного вокруг пирамиды шара к высоте пирами-ды равно 20?
3. В шаре перпендикулярно диаметру проведено сечение, деляш;ее диаметр на отрезки 1 и 3. Одно из оснований цилиндра, радиус которого равен образую¬щей, лежит на плоскости сечения, а окружность другого — на сферической поверхности. Найдите об¬разующую цилиндра.

Вариант 1
1. В ромбе АВСВ сторона равна 6, ZA = 60°. Точка К лежит на стороне СВ так, что СК = 2. Из точки К к плоскости ромба проведен перпендикуляр КМ, длина которого равна 6. Найдите:
а) угол между прямой АВ и плоскостью MCD;
б) величину двугранного угла M(AB)D;
в) расстояние между прямыми МК и ВВ;
г) угол между прямыми МС и BD.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен X. При каком значении х отношение радиуса вписан¬ного в конус шара к высоте конуса равно 0,1?
3. В шаре перпендикулярно диаметру проведено сечение, деляш;ее диаметр на отрезки 1 и 3. Найдите образуюЕЧую равностороннего цилиндра, одно из ос¬нований которого лежит на плоскости сечения, а ок¬ружность другого — на сферической поверхности.
Вариант 2
1. В ромбе АВСВ сторона равна 8, ZA = 120°. Точ¬ка К лежит на стороне СВ так, что СК = 2. Из точки К к плоскости ромба проведен перпендикуляр КМ, дли¬на которого равна 4. Найдите:
а) угол между прямой АВ и плоскостью MCD;
б) величину двугранного угла M(AB)D;
в) расстояние между прямыми МК и ВВ;
г) угол между прямыми МС и BD.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен X. При каком значении х отношение радиуса описан¬ного около конуса шара к высоте конуса равно 10?
3. В шаре перпендикулярно диаметру проведено сечение, делящее диаметр на отрезки 2 и 3. Найдите образующую равностороннего цилиндра, поверх-ность которого касается плоскости сечения и содер-жит центр этого сечения, а ровно одна образующая является хордой шара.

КМ-11-2
Многогранники
Подготовительный вариант
1. В правильной шестиугольной призме ABCDMNA^Bf2]D-^MyN^ проведено сечение через вер¬шину Cj и точки KviF — середины соответственно ре¬бер AN и MN. Определите количество граней ребер и вершин образовавшегося многогранника, одной из вершин которого является точка С.
2. В шестиграннике ребро AAj = 4 и
А4^ ± (ABC). Грань AjBjCjDj — квадрат со стороной 4; грань ABCD — прямоугольник со сторонами AD = 7 и DC = 16. Стороны квадрата соответственно парал-лельны сторонам прямоугольника.
Найдите:
а) длины трех неизвестных ребер;
б) площадь полной поверхности шестигранника;
в) длину наибольшей диагонали.
3. Две грани пятигранника АВСА^В^С^ — тре-угольники. Треугольник ABC — равносторонний со стороной 8. Боковые ребра АА^, ВВ^ и СС^ параллель¬ны между собой, ребро АА^ перпендикулярно плос¬кости ABC, AAj = 3, BBj = 7, CCj = 5.
Найдите:
а) расстояние между точками пересечения медиан треугольников;
б) угол между плоскостями А-ВС и AjBjCj.

Вариант 1
1. В кубе ABCDAxBxCxDx с ребром 8 проведено сече¬ние через вершину D и середины ребер А^Ву и разделившее куб на два многогранника. Для каждого из них найдите количество вершин, ребер, граней и диагоналей. Для многогранника, содержащего вер-шину В, найдите длину наибольшего отрезка, при-надлежащего этому многограннику.
2. Грани ABCD и A^ByC-J)^ шестигранника ABCDAyByCyDy лежат в параллельных плоскостях. Грань ABCD — квадрат со стороной 80, диагонали ко¬торого пересекаются в точке К. Грань AyByCyDy — прямоугольник со сторонами AjBi = 40 яАуВу = 8, его диагонали пересекаются в точке М. Отрезок КМ ра¬вен 15 и лежит на прямой, перпендикулярной плос¬кости грани ABCD,
Определите:
а) площадь полной поверхности многогранника;
б) длины ребер, не лежащих в плоскостях данного квадрата и данного прямоугольника;
в) имеют ли прямые ААу, ВВу, ССу, DDy одну об¬щую точку.
3. Дан шестигранник ABCDAyByCyDy, у которого грань ABCD — ромб со стороной 6, угол BAD равен 60°. Ребра AAj, ВВу, ССу, DDy перпендикулярны плос¬кости ABC, причем AAj = 7, ВВу = 6, ССу = 5.
Найдите:
а) длины остальных ребер;
б) угол между плоскостью ABC и прямой А^С^;
в) угол между плоскостями ABC и А^В^Сх;
г) самую большую диагональ шестигранника.

Вариант 2
1. В кубе ABCDA^B^C^D^ с ребром 6 проведено сече¬ние через середины ребер СС^, АВ и AD, разделившее куб на два многогранника. Для каждого из них най¬дите количество вершин, ребер, граней и диагоналей. Для многогранника, содержаш;его вершину А, найди¬те длину наибольшего отрезка, принадлежащего это¬му многограннику.
2. Грани ABCD и шестигранника
ABCDAyB^C^D^ лежат в параллельных плоскостях. Грань ABCD — квадрат со стороной 10, диагонали которого пересекаются в точке К. Грань —
прямоугольник со сторонами А^В^ = 28, A^D^ = 20, его диагонали пересекаются в точке М. Отрезок КМ равен 12 и лежит на прямой, перпендикулярной плос¬кости грани ABCD.
Определите:
а) площадь полной поверхности многогранника;
б) длины ребер, не лежащих в плоскостях данного квадрата и данного прямоугольника;
в) имеют ли прямые АА^, BBj, СС^, DD^ одну об-щую точку.
3. Дан многогранник ABCDA^BfC^D-^ с восемью вершинами. Грань ABCD — квадрат со стороной 6, ребра AAj, ВВ^, СС^, DDj перпендикулярны плоскос-ти квадрата и лежат по одну сторону от нее, причем AAj = 9, BBi = 7, CCi = 5, DD^ = 7.
Найдите:
a) количество граней данного многогранника;
— б) длины остальных ребер;
в) угол между плоскостями ABC и А^В^С^;
г) наибольшую диагональ многогранника.

км-11-3
Призма
Подготовительный вариант
1. Основанием прямой призмы АВСА^В-^С^ являет¬ся равнобедренный треугольник с тупым углом а при вершине С. Угол В^АС равен Р; высота призмы равна h. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2. Основание призмы АВСВА^В^С^В^ — роглб ABCD, АС = 8, ВВ = 6, AjA = AiC, ZA^AD = ZAjAB = 60°. Найдите:
а) диагонали призмы;
б) расстояния между плоскостями противополож-ных боковых граней.
3. В шар радиуса R вписан куб. Основание ABCDKF правильной шестиугольной призмы ABCDKFAiBiCiPiKiFi, все ребра которой равны, ле¬жит на грани куба, а вершины А^, В^, С^, В^, — на сфере. Найдите высоту шестиугольной призмы, ес¬ли она не имеет с кубом общих внутренних точек.
Вариант 1
1. В правильной треугольной призме АВСА^В^С^ угол АВ^С равен а. Найдите площадь основания, если высота призмы равна h.
2. Все грани параллелепипеда АВСВА^В^С^В^ — ромбы со стороной а. Все углы, принадлежащие гра¬ням с вершиной А, равны 60°. Найдите высоту парал¬лелепипеда и расстояние между боковыми противопо¬ложными гранями.
3. В правильную шестиугольную призму с ребром основания 4 можно вписать шар. Найдите радиус ша¬ра, описанного около этой призмы.

Вариант 2
1. Основание прямого параллелепипеда ABCDAyByCyDy — ромб с острым углом а. Прямая ВСу составляет с плоскостью DCyDy угол р. Найдите длину ребра основания, если длина бокового ребра равна а.
2. В треугольной призме АВСАуВуСу основание ABC — правильный треугольник со стороной а. Грани АССуАу и ССуВуВ — ромбы с острым углом а при вер¬шине С. Найдите высоту призмы.
3. В правильную шестиугольную призму с боко-вым ребром 6 можно вписать шар. Найдите радиус шара, описанного около этой призмы.
КМ-11-4 Правильная пирамида
Подготовительный вариант
1. В правильной шестиугольной пирамиде с высо¬той h плоский угол при вершине равен р. Найдите сторону основания.
2. В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF проведено сечение через точки В, F и сере¬дину ребра MD. В каком отношении это сечение де¬лит высоту МО, считая от точки М?
3. Найдите радиус шара, описанного около пра-вильной усеченной треугольной пирамиды с боковым
ребром Ол/З и ребрами оснований а и За.
Вариант 1
1. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а высота равна Л. Найдите сторону основания.

2. В правильной четырехутольной пирамиде MABCD проведено сечение через середины ребер AD, АВ и МС. В каком отношении это сечение делит высо¬ту пирамиды МО, считая от М?
3. Найдите радиус шара, описанного около пра-вильной усеченной чётырехугольной пирамиды с бо-ковым ребром Ьл/2 и ребрами оснований 6 и 2Ь.
Вариант 2
1. В правильной четырехугольной пирамиде пло¬ский угол при вершине равен а, а высота равна h. Найдите сторону основания.
2. В правильной треугольной пирамиде МАВС про¬ведено сечение через середины ребер АС, АВ и MB. В каком отношении это сечение делит высоту пирами¬ды МО, считая от М?
3. Найдите радиус шара, вписанного в правильную усеченную четырехугольную пирамиду с ребрами ос¬нований 2Ъ и 8Ь.
КМ-11-5
Частные виды пирамид и их свойства
Подготовительный вариант
1. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите:
а) расстояние между двумя гранями, не имеющи¬ми общей вершины;
б) расстояние между двзшя скрещивающимися прямыми, содержащими ребра октаэдра.
2. Основанием пирамиды MABCD является тра-пеция ABCD (ВС II AD), причем АВ = ВС — CD = а, AD = 2а. Найдите высоту пирамиды, если:
а) все боковые ребра пирамиды равны 2,4а;
б) каждый из двугранных углов при ребрах ВС и AD равен 60°;

в) грани МВС и MCD перпендикулярны основа-нию, а ребро AM равно 2а;
г) грани МАВ и MCD перпендикулярны основа-нию, а плоскость МВС образует с плоскостью ABC угол величиной 45°;
д) плоскость MAD перпендикулярна основанию, а грань MAD является равнобедренным прямоуголь-ным треугольником.
3. В кубе ABCDA^Bj^C^Dj с ребром 12 проведено се¬чение плоскостью MNP, где М лежит на ребре CD (МС = 10), N — на ребре CCj (NC = 4), Р — на ребре СВ {СР = 3). Определите:
а) в каком отношении сечение MNP делит объем куба;
б) угол между прямыми PN и CD.
Вариант 1
1. Основанием пирамиды МАВС служит треуголь¬ник ABC, у которого АВ = АС = а и Z ВАС = р. Найди¬те высоту пирамиды, если:
а) все боковые ребра пирамиды наклонены к плос-кости основания под углом 60°;
б) все двугранные углы пирамиды при ребрах ее ос¬нования равны 45°;
в) грани MAC и МАВ перпендикулярны плоскости основания, а двугранный угол при ребре ВС равен а;
г) грань MAC — равнобедренный треугольник с уг¬лом 120°, а плоскость этой грани перпендикулярна основанию пирамиды.
2. Найдите площадь поверхности и объем правиль¬ного октаэдра, если радиус описанного около него ша¬ра равен 4.
3. В тетраэдре DABC все плоские углы при верши¬не — прямые. Известно, что DA = 3, DB = 4, DC = 5. Найдите:
а) объем тетраэдра;
б) угол между прямыми АВ и DC;
в) расстояние между ребрами АВ и DC.

Вариант 2
1. Основанием пирамиды МАВС служит треуголь¬ник ABC, у которого АВ = АС, ВС = а, Z АСВ = р. Най¬дите высоту пирамиды, если:
а) все боковые ребра пирамиды наклонены к плос-кости основания под углом 45°;
б) все двугранные углы пирамиды при ребрах ее ос¬нования равны 60°;
в) грани MAC и МАВ перпендикулярны плоскости основания, а двугранный угол при ребре ВС равен 30°;
г) грань MAC — равнобедренный треугольник с уг¬лом Р между равными сторонами, а плоскость этой грани перпендикулярна основанию пирамиды.
2. Найдите площадь поверхности и объем правиль¬ного октаэдра, если радиус вписанного в него шара равен 6.
3. В тетраэдре DABC все плоские углы при верши¬не D — прямые. Известно, что DA = 12, DB = 4, DC = 5. Найдите:
а) объем тетраэдра;
б) угол между прямыми АС и DB;
в) расстояние между ребрами АС и DB.
КМ-11-6 Векторы в пространстве
Подготовительный вариант
1. Пусть Z (а; Ъ) = Z (а; с) = 60°, Ь ± с, |^ = 2, |5| = 3^ |с|_= 4_^ Найдите:_
а)а^Ь; а • с; Ь • с;
б)(2а-ЗЬ) • (Ь + с);
в) |3а — 5 + с|;
г) угол между векторами За — Ы- с и (~Ь);
д) все такие числа х, при которых векторы За — хЬ + с и а + Ь — хс ортогональны;

е) такое значение у, при котором вектор (у + 1)а — — 2Ь + ус имеет наименьшую длину;
ж) длину проекции вектора а на плоскость, комп-ланарную векторам Ь и с.
2. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD плоский угол при вершине М равен а, а боко¬вое ребро равно т. Пусть МА = а, MB = Ь, МС = с, МО — высота пирамиды.
а) Разложите векторы МО и MD по векторам а, Ь, с.
б) Найдите угол между векторами АВ и МС.
в) Найдите угол между векторами МС и АК (где К — точка пересечения медиан треугольника MDC).
3. Даны три единичных вектора ОА, ОВ, ОС, угол между любыми двумя из которых равен 60°. Разло¬жите в данном базисе единичный вектор OD, обра¬зующий с этими векторами равные углы. (Рассмотри¬те все возможные случаи.)
Вариант 1
1. Пусть |а| = I&I = 2; |с| = 3; а .L &; а II с; Z (5; с) = 60°. Найдите:
а) аЬ, ас, Ьс;
б) |а — ЗЬ + с|;
в) угол между векторами х = а-ЗЬ + с и у = Ь- с;
г) все такие числа а, при которых векторы т = 3а + аЬ — с и х = а — ЗЬ + с ортогональны;
д) такие значения t, при которых длина вектора р = За + 2tb — (t + 1)с наименьшая.
2. В правильной треугольной призме АВСА^ВуС^ длины всех ребер равны 1. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите:
а)АВ • CBi;6)Z(A7B;CBi);b)a7m • С^В.

3. в четырехугольной пирамиде MABCD грань ABCD — параллелограмм и МА = а, MB = Ъ, МС = с.
а) Разложите MD по векторам а, Ъ, с.
б) Пусть точка К — середина отрезка AM, точка Р принадлежит отрезку МС и ЗМР = PC, точка L при-надлежит отрезку MB и ML = 3LB. В каком отноше-нии разделится отрезок MD плоскостью (KLP), счи¬тая от точки М?
Вариант 2
1. Пусть |а| = |б| = 2; |с| = 3; а ± &; а X с; Z (Ь; с) = = 120°. Найдите:
а) аЬ; ас, Ъс;
б) |а + ЗЬ — с\;
в) угол между векторами х = а + ЗЬ — с и у = 2Ь + с;
г) все такие числа а, при которых векторы т = = 2а-аЬ + с и д: = а + ЗЬ-с ортогональны;
д) такие значения t, при которых длина вектора р = 2а- 3(t + 1)Ь + 2tc наименьшая.
2. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD (ABCD — основание) длины всех ребер рав-ны 1. Точка К — середина отрезка МС, а Р — точка пересечения медиан треугольника АМВ. Найдите:
а)АМ • СА;
б) Z (DK; АВ);
в)МС • Ш.
3. В параллелепипеде АВСВА^В^С^В^ точки D и М — середины ребер D^K и В^С^ соответственно и АС = а; ADi = Ь; ABj = с. Разложите по векторам а, Ъ, с векторы ACj и КМ.

КМ-11-7 Координаты в пространстве
Подготовительный вариант
1. В пространстве заданы две точки: А(0; 1; -1) и В(0; -1; 0). Найдите геометрическое место точек М пространства, для которых выполняется условие
АМ= \ВМ.
2. Основание ABC правильной треугольной призмы АВСАуВуСу, все ребра которой равны между собой, ле¬жит в плоскости хОу, причем А(0; 1; 0), В(0; -1; 0). Найдите координаты остальных вершин. (Рассмотри¬те все возможные случаи.)
3. В пространстве заданы четыре точки: А(3; 2; 1), В(1; 1; 0), С(0; 0; 4), D(-l; 0; 1).
а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б) Напишите уравнение плоскости ABC.
в) Напишите уравнение сферы с диаметром AD.
г) Опишите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
д) Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке D.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС и AD.
Вариант 1
1. В пространстве заданы две точки: А(0; 2; 0) и В(0; -6; 0). Найдите геометрическое место точек М пространства, для которых выполняется условие AM = ЗМВ.
2. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой, причем А(-2; 0; 0) и С(2; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин, если Р принадлежит оси Ог.

3. В пространстве заданы четыре точки: А(1; 1; 1), В(1;2;-2), С(9; 0; 0), D(2; 3; 4).
а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б) Напишите уравнение плоскости АВС.
в) Напишите уравнение сферы с диаметром AD.
г) Опишите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
д) Напишите уравнение касательной плоскости в точке А к данной сфере.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС и AD.
Вариант 2
1. В пространстве заданы две точки: А(-б; 0; 0) и В(3; 0; 0). Найдите геометрическое место точек М пространства, для которых выполняется условие AM = 2МВ.
2. Основание ABC правильного тетраэдра АВСВ ле¬жит в плоскости хОу, причем А(1; 0; 0), В(-1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин.
3. В пространстве заданы четыре точки: А(2; 0; 0), В(2; 1; -3), С(10; -1; -1), В(3; 2; 3).
а) Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б) Напишите уравнение плоскости АВС.
в) Напишите уравнение сферы с диаметром AD.
г) Опишите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
д) Напишите уравнение касательной плоскости в точке D к данной сфере.
е) Найдите расстояние между прямыми ВС и AD.

КМ-11-8
Объемы и поверхности тел вращения
Подготовительный вариант
1. Найдите объем меньшего из тел, ограниченного поверхностями = 6z и Ах + 1у + Az = 0.
2. Два конуса имеют общее основание. Расстояние между их вершинами равно d, а общей их частью яв¬ляется конус с меньшей высотой. Углы при вершинах их осевых сечений равны а и Р, причем а > р. Найди¬те объем общей части конусов.
3. В полукруге с диаметром АВ = 4 точка О — центр, ОС — радиус, перпендикулярный АВ, 0D — радиус, составляющий с радиусом ОВ угол 60°. Из по¬лукруга вырезаны сектор BOD и треугольник OCD. Полученная фигура вращается вокруг прямой АВ. Найдите объем и площадь поверхности тела враще-ния.
Вариант 1
1. Найдите объем большего из тел, ограниченного поверхностями
2x + y-2z + 3 = 0 и х^ + у^ + z^ = 2z + Ах — Ay.
2. Два конуса имеют общую высоту h. Углы при вершинах их осевых сечений равны а и р. Найдите объем их общей части.
3. Из прямоугольника ABCD со сторонами АВ = 6 и ВС =10 вырезаны сектор — четверть круга с ради¬усом АВ и треугольник MCD (МС = MD = 5). Полу¬ченная фигура вращается вокруг прямой АВ. Найди¬те объем и площадь поверхности тела вращения.

Вариант 2
1. Найдите объем большего из тел, ограниченного поверхностями
д; — 2у — 2г + 12 = О и = 2у — 2х — 8г — 2.
2. Два конуса имеют общ;ее основание. Расстояние между их вершинами равно d, а углы при вершинах их осевых сечений равны а и р. Найдите объем тела, состоящ;его из всех точек, которые принадлежат хотя бы одному из данных конусов.
3. Из ползжруга диаметром АВ (АВ = 8) вырезана вписанная в него трапеция с основанием АВ и тремя другими равными сторонами. Полученная фигура вращается вокруг прямой АВ. Найдите объем и пло¬щадь поверхности тела вращения.
КМ-11-9 Движения в пространстве
Подготовительный вариант
1. Пусть А(4; -6; 9). Найдите образ точки А при;
а) симметрии относительно начала координат;
б) симметрии относительно плоскости уОг;
в) повороте на 90° относительно оси Ог;
г) параллельном переносе на вектор {3; -2; -4};
д) симметрий относительно точки с координатами (3; 1; 2).
2. Докажите, что композиция двух симметрий: сначала относительно плоскости х + у = О, а затем от¬носительно плоскости X — у = О, есть поворот про-странства. Найдите ось и угол поворота.
3. Дан куб ABCDAyByCyDy. Движение f таково, что f(A) = D, f(C)=Ay, f(By) = B, f{D) = Dy. Найдите об¬разы остальных вершин куба.

4. В основании треугольной пирамиды DABC ле-жит правильный треугольник АВС. Пирамиду повер-нули вокруг ее высоты DO на угол а, О < а < 30°. Какой процент объема пирамиды составляет объем фигуры, полученной при пересечении образа и прооб¬раза этого поворота?
Вариант 1
1. Пусть А(-3; 2; 5). Найдите образ точки А при;
а) симметрии относительно начала координат;
б) симметрии относительно плоскости гОу;
в) повороте на 90° относительно оси Ох;
г) параллельном переносе на вектор {-1; 2; -3};
д) симметрии относительно точки (1; 2; 0).
2. Докажите, что композиция двух симметрий: сначала относительно плоскости 2 = О, а затем относи¬тельно плоскости д: = О, есть поворот пространства. Найдите ось и угол поворота.
3. Дан куб ABCDAyByCyDy. Движение / таково, что /(А) = Dy, f{Ay) = Су, f{D) = D, f(B) =Ау. Найдите обра¬зы остальных вершин куба.
4. Правильную четырехугольную пирамиду MABCD повернули вокруг высоты МО на угол 45°. Какой процент объема пирамиды составляет объем фигуры, полученной при пересечении образа и прооб¬раза этого поворота?
Вариант 2
1. Пусть А(3; -7; 1). Найдите образ точки А при:
а) симметрии относительно начала координат;
б) симметрии относительно плоскости хОу;
в) повороте на 90° относительно оси Оу;
г) параллельном переносе на вектор {-2; 1; -3};
д) симметрии относительно точки (1; 2; 0).

2. Докажите, что композиция двух симметрий сна¬чала относительно плоскости г = О, а затем относи¬тельно плоскости Z = -3 есть параллельный перенос. Найдите координаты вектора переноса и напишите уравнение какой-нибудь его неподвижной плоскости.
3. Дан куб АВСВА^В^С^В^. Движение / таково, что f{Di)=A, f(Ci) =Ai, f{D) = D, f(Ai) = B. Найдите обра¬зы остальных вершин куба.
4. Правильную треугольную призму повернули во¬круг ее бокового ребра на угол 30°. Какой процент объема призмы составляет объем фигуры, полученной при пересечении образа и прообраза этого поворота?
КМ-11-10
Повторение
Подготовительный вариант
1. а) В треугольнике ABC через некоторую точку М на стороне АС проведены две прямые, параллельные АВ и ВС. Площади образовавшихся при этом тре¬угольников равны Sj и Sg. Найдите площадь ABC.
б) Через некоторую точку О внутри треугольника ABC проведены три прямые, параллельные его сторо-нам. Известно, что площади образовавшихся при этом трех треугольников равны S-^, Sg и Sg. Найдите площадь треугольника ABC.
2. В правильной усеченной четырехугольной пира¬миде точка пересечения диагоналей является верши¬ной двух четырехугольных пирамид, основаниями которых служат верхнее и нижнее основания данной усеченной пирамиды. Объемы этих пирамид равны
и Fg. Найдите объем усеченной пирамиды.
3. Около шара, радиус которого равен R, описана правильная четырехугольная пирамида. При какой высоте пирамиды ее объем будет наименьшим?

Вариант 1
1. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диаго¬нали пересекаются в точке О. Известно, что площади треугольников ОВС и OAD равны соответственно Sy и Sg. Найдите площадь трапеции.
2. Высота конуса разделена в отношении 3:4:3, и через точки деления проведены сечения, параллель¬ные основанию. Объем части конуса, заключенной между плоскостями сечения, равен V. Найдите объем конуса.
3. Около шара, радиус которого равен R, описан конус. Найдите образующую, при которой объем ко-нуса будет наименьшим?
Вариант 2
1. Высота треугольника разделена в отношении 3:4:3. Через точки деления проведены прямые, па-раллельные основанию треугольника. Площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, равна S. Найдите площадь треугольника.
2. В усеченном конусе точка пересечения диаго-налей осевого сечения является вершиной двух кону-сов, основаниями которых служат верхнее и нижнее основания данного усеченного конуса. Объемы этих конусов равны Fj и Fg’ Найдите объем усеченного ко-нуса.
3. В конус вписан шар. Для какого значения угла при вершине осевого сечения конуса отношение объ-ема шара к объему конуса является наибольшим? Найдите это отношение.

км-11-11
Итоговое повторение
Подготовительный вариант
1. 1) Центр сферы радиуса г лежит на сфере ради¬уса R(R> г). Найдите длину линии пересечения двух сфер.
2) Сечение куба ABCDAyByCyDy проходит через середины F и G его ребер ВуСу и DyCy параллельно ди¬агонали куба АС у. Постройте это сечение и найдите его площадь, если ребро куба равно а.
2. 1) В тетраэдре ABCD плоские углы при вершине D — прямые. Ребра DA и DB образуют с плоскостью АВС углы а и Р соответственно. Двугранный угол C(AB)D равен у. Докажите, что
(sin^ а + sin^ 3 — 1)(1 -I- tg^ у) + 1 = 0.
2) В тетраэдре SABC плоские углы при вершине S — прямые. Известно, что SA = 2, SB = 6, SC = 4. Точка К лежит на ребре SB, причем SK : КВ = 2:1. Точки М и N — середины ребер АВ и АС соответствен¬но. Найдите:
а) расстояние от вершины А до плоскости KMN;
б) расстояние от вершины S до плоскости KMN;
в) угол наклона плоскости KMN к плоскости ABS-,
г) угол между КС и плоскостью KMN.
3) Шар радиуса г = 10л/Ю,2 касается трех ребер трехгранного угла SABC. Найдите расстояние от вер-шины S угла до центра шара, если ZASB = 90,
Z AiSC = Z BSC = arccos -1

3. 1) Все двугранные углы при ребрах основания треугольной пирамиды равны 60°. Длины ребер одной
из боковых граней равны 10, 26 и 4 7^ , причем боль-шее из них является гипотенузой прямоугольного треугольника, лежапцего в основании пирамиды. Найдите объем пирамиды и плош;адь ее боковой по-верхности.
2) Два одинаковых шара радиуса г = 3 — V? каса-ются друг друга и граней двугранного угла величиной 90°. Третий шар большего радиуса R (R > г) касается обоих шаров и граней данного двугранного угла. Най-дите R.
4. Основанием правильной треугольной пирамиды
SABC является треугольник ABC, R = \f51 — радиус шара, вписанного в пирамиду. Через середины ребер АВ, ВС и BS проходит плоскость, разбиваюпцая пира-миду на два многогранника, в каждый из которых можно вписать шар. Найдите отношение радиусов этих шаров, а также объем пирамиды SABC.
Вариант 1
1. Основание конуса лежит в плоскости а. Этой плоскости касается шар радиуса R (шар и конус рас-положены по одну сторону от плоскости). Высота ко¬нуса равна диаметру шара, а их объемы равны. На ка¬ком расстоянии от плоскости а надо провести парал¬лельную ей плоскость Р, чтобы она пересекала шар и конус по кругам, имеющим одинаковые площади?
2. Вершина прямоугольного параллелепипеда яв¬ляется единственной общей точкой параллелепипеда и плоскости ф. Ребра параллелепипеда, выходящие из этой вершины, образуют с плоскостью ф углы а, Р и у. Докажите, что sin^ а + sin^ Р 4- sin^ у = 1.

3. Все двугранные углы при ребрах основания тре¬угольной пирамиды равны 60°. Длины ребер одной из
боковых граней равны 2^2, Jb и 3, причем большее из них является катетом прямоугольного треугольни¬ка, лежащего в основании пирамиды. Найдите объем пирамиды и площадь ее боковой поверхности.
4. Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, причем АВСВ — ее основание. Через середи¬ны ребер АВ, ВС и ВМ проведена плоскость, разби¬вающая пирамиду на два многогранника, в каждый из которых можно вписать шар. Найдите отношение радиусов этих шаров.
Вариант 2
1. Шар радиуса 7з и цилиндр имеют одинаковые объемы, а ось цилиндра совпадает с диаметром шара. Найдите кратчайшее расстояние между двумя линия-ми пересечения поверхности шара и боковой поверх-ности цилиндра.
2. Вершина А куба — единственная общая точка куба с плоскостью ф. Три грани куба, содержащие вершину А, составляют с плоскостью ф углы а, 3 и у- Докажите, что
sin^ а + sin^ 3 + sin^ у =2.
3. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной 2. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем и площадь боковой поверх¬ности пирамиды, если высота пирамиды равна 2л/3 .
4. В основании прямой призмы АВСВА^В^С^В^ ле¬жит ромб ABCD. Через середины ребер АВ, AD и АА^ проходит плоскость, разбивающая призму на два многогранника, в каждый из которых можно вписать шар. Чему равно отношение радиусов этих шаров?

Вариант 3
1. В правильной четырехугольной пирамиде пло¬ский угол при вершине равен а. Определите двугран¬ный угол при боковом ребре.
2. Основанием прямой призмы АВСАуВуСу с высо¬той 3 служит прямоугольный треугольник с катетами АС = 2 и ВС = 4. Плоскость а проходит через середи¬ны ребер АС, АуВу и ВВу призмы. Найдите:
а) расстояние от вершины С до плоскости а;
б) расстояние от вершины А до плоскости а;
в) угол наклона плоскости а к плоскости основа-ния призмы;
г) угол между отрезком СВу и плоскостью а.
3. Два одинаковых шара радиуса 3 касаются друг друга и граней двугранного угла величиной 60°. Тре-тий шар меньшего радиуса касается обоих шаров и граней данного двугранного угла. Найдите радиус третьего шара.
4. Каждый из двух цилиндров имеет высоту 4г и радиус основания г. Цилиндры расположены так, что их поверхности касаются, причем центр основания одного из них является также серединой образуюпцей другого. Найдите плопцадь поверхности шара на¬именьшего радиуса, содержащего оба цилиндра.
Вариант 4
1. В правильной треугольной пирамиде двугран-ный угол при боковом ребре равен р. Определите дву¬гранный угол при ребре основания.
2. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDAyByCyDy является квадрат со стороной 2, боко¬вое ребро равно 1. Плоскость 3 проходит через верши¬ну Су и середины ребер АВ и AD. Найдите:
а) расстояние от точки А до плоскости 3;
б) расстояние от точки пересечения диагоналей па¬раллелепипеда до плоскости 3;

в) угол между плоскостью Р и гранью AAiDiD;
г) угол между диагональю А^С и плоскостью р.
3. Шар радиуса 4 касается двух граней двугранно¬го угла величиной 120°. Два одинаковых шара мень¬шего радиуса также касаются граней двугранного уг¬ла и, кроме того, они касаются друг друга и большего шара. Найдите радиус каждого из меньших шаров.
4. Два одинаковых конуса с радиусом основания г и образуюш;ей 4г имеют обш;ую вершину и общую об¬разующую. Найдите радиус шара наименьшего объ¬ема, содержащего оба конуса.
Вариант 5
1. Через середины ребер MB и CD параллельно ди¬агонали BD основания правильной четырехугольной пирамиды MABCD проведена плоскость. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро равно Ъ.
2. Шар радиуса 1 касается трех ребер трехгранного угла МАВС. Найдите расстояние от вершины М до цент¬ра шара, если ZAMB = 90°, ZAMC = Z ВМС = 60°.
3. В тело, полученное вращением прямоугольного
треугольника с катетами 2 и 2 7з вокруг гипотенузы, вписана правильная треугольная призма, боковая грань которой квадрат, а основание перпендикулярно оси вращения. Найдите отношение объема тела вра¬щения к объему призмы.
4. В основании пирамиды SABCD лежит прямо-угольная трапеция ABCD с основаниями АВ = За и CD = 2а, боковой стороной ВС = 2а и прямым углом А. Двугранные углы при ребрах ВС и CD равны, грань ASB перпендикулярна основанию пирамиды, Z BSC =
= arccos I. Найдите объем пирамиды.

Вариант 6
1. Сечение правильной треугольной призмы АВСА^В^С^ проходит через середины ее ребер АС и A^Bi параллельно диагонали А^С боковой грани. Постройте это сечение и найдите его площадь, если сторона основания призмы равна а, а боковое ребро равно Ь.
2. Шар радиуса Е касается трех граней трехгранно¬го угла МКРС. Найдите расстояние от центра шара до ребра МС, если Z КМР = 90°, Z КМС = Z РМС = 60°.
3. В тело, полученное вращением треугольника со
сторонами 2, 7 и 573 вокруг его большей стороны, вписана правильная четырехугольная призма с осно-ванием, перпендикулярным оси вращения. Диаго-наль призмы образует с осью вращения угол 30°. Ка-кую часть объема тела вращения составляет объем призмы?
4. В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 5. Ребро SA перпендикулярно плос¬кости основания, SC = 7, Z CSB = 45°. Найдите объем пирамиды.

Тестовая работа
Выберите верный ответ,
1. В шестиграннике АВСВА^В^С^В^ грани ABCD и AiBjCiDi — прямоугольники, а четыре остальные грани — трапеции. Периметр ABCD равен 20, а пло-щадь равна 25. Одна из диагоналей прямоугольника AiBiCiPi в 2 раза больше одной из его сторон. Явля-ется ли данный шестигранник усеченной пирамидой?
А) да; Б) нет; В) не обязательно;
Г) такого шестигранника не существует.
2. В кубе ABCDA-iBiCiDi проведено сечение через точку Bj и середины ребер AD и ВС, разбивающее куб на два многогранника, один из которых содержит вершину В. Определите Г + В Н- Р, где Г — число гра¬ней этого многогранника, В — число его вершин, Р — число его ребер.
А) 26; Б) 24; В) 28; Г) 31.
3. Дана правильная треугольная призма АВСА^В^С^. Сколько существует таких плоскостей, от которых все вершины призмы находятся на одинаковом рас¬стоянии?
А) ни одной; Б) одна; В) четыре; Г) семь,
4. Сумма количества граней и количества ребер призмы равна 998. Найдите количество ее вершин.
А) 500; Б) 498; В) 502; Г) в условии мало данных.
5. Все боковые ребра треугольной пирамиды обра¬зуют с ее высотой один и тот же угол. В этом случае высота пирамиды проходит через:
A) точку пересечения медиан основания;
Б) точку пересечения биссектрис основания;
B) точку пересечения высот основания;
Г) верного ответа нет.

6. Грань МАВ треугольной пирамиды МАВК перпендикулярна основанию и представляет собой прямоугольный треугольник с гипотенузой АВ = 2 и острым углом 15°. Найдите высоту пирамиды, опу-щенную из вершины М на основание ABJT.
А)л/3; Б) 0,25; В) 0,5; Г) 3tg 15°.
7. В основании пирамиды лежит трапеция с ос-нованиями 3 и 7. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны 60°. Найдите периметр трапеции.
А) в условии мало данных; В) 20-7^ ;
Б) 23; Г) 20.
8. Определите расположение точек А{1; 2; -3) и В(-3; -3; 5) относительно плоскости 8х — Зу + 5z — 2 = 0.
A) обе лежат в плоскости;
Б) одна лежит в плоскости, а другая — нет;
B) лежат по разные стороны плоскости;
Г) лежат по одну сторону плоскости.
9. Укажите уравнение плоскости, касательной к
ООО
сфере X + у +2 =4и проходящей через точку с ко-ординатами (-3; 4; 1).
А) 2х — 2у + 2 + 13 = 0; В) х + у — 2 = 0;
Б) 2х — 2у — 2 + 15 = 0; Г) такой плоскости нет.
10. Дан тетраэдр ABCJT; KL = ЗКА +2х-КВ+^-КС.
При каких значениях х точка L лежит в плоскости АВС?
А) при всех; Б) ни при каких; В) х = -1,2; Г) х = -0,8.
11. Все грани пятигранника являются правильны-ми многоугольниками со стороной 6. Какие значения может принимать объем пятигранника?
А)48л/б; В)54л/3;
Б) 36 л/2 ; Г) верного ответа нет.

12. Даны два шара, радиус одного из которых в 3 раза больше радиуса другого (rg = Зг^); Pj и Pg — сумма всех ребер, вписанных соответственно в пер-вый и во второй шары правильных шестиугольных пирамид с плоским углом 20° при вершине; и Sg — полные поверхности описанных около этих шаров ко¬нусов с углом 130° в развертке каждого из них; Vy и Fg — объемы октаэдров, в которые соответственно
Рг ^2 ^2
вписаны первый и второй шары. Найдите + о» + тГ •
Ру Ьу Vy
А) 27; В) 39;
Б) 3; Г) в условии мало данных.
13. Найдите отношение объема четырехугольной призмы ABCDAyByCyDy к объему тетраэдра АСВ
А) 1 : 3; В) 1 : 2;
Б) 1 : 6; Г) в условии мало данных.
14. В кубе ABCDAyByCyDy через точку X диагонали
АС у такую, что АК : КСу = 2+ J3 , проведено сечение, разбивающее куб на два многогранника, в каждый из которых можно вписать шар. Определите форму этого сечения.
А) треугольник; В) шестиугольник;
Б) четырехугольник; Г) в условии мало данных.
15. Плоскость а параллельна плоскости р, а рас-стояние между ними равно 5. Композиция двух симметрий относительно плоскостей а и Р соответ-ственно переводит точку М в точку К. Укажите длину отрезка МК.
А) 5; Б) 10; В) 0;
Г) это расстояние зависит от расположения точки М относительно плоскости а.

16. Отрезок OjOg соединяет центры верхнего и ниж¬него оснований цилиндра. Точка К лежит на отрезке OjOg и делит его в отношении 1 : 3, считая от О^; ВС и AD — два взаимно перпендикулярных диаметра осно¬вания цилиндра с центром Oj. В каком отношении де¬лит объем цилиндра сечение плоскостью, проходящей через точки С и X параллельно прямой AD? (Дайте от¬вет, считая первым тело, содержащее точку О^.)
17. Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD (углы А и В — прямые, угол D равен 45°, АВ = ВС = 2) вокруг прямой CD.
18. Найдите объем тела вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком
А) 2 : 3 ; Б)1 ; 4;
В) 2 : 9; Г) 1 : 3.
Г) верного ответа нет.
71
У — Sin X и прямыми X = X = п.

Решебник Звавич 10 класс, часть 3

10 класс
KM-lO-l Аксиомы стереометрии. Простейшие геометрические тела
Подготовительный вариант
1. В треугольнике DEF EF = 8, ED = 17. Найдите площадь треугольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону FD, и точку пересечения высот треугольника можно провести по крайней мере две различные плоскости;
б) через медиану DK и центр вписанной в треуголь¬ник окружности можно провести по крайней мере две различные плоскости;
в) существует прямая, не лежащая в плоскости DEF, пересекающая биссектрису DK и содержащая центр окружности, описанной около треугольника KFD.
2. В правильном тетраэдре EFGS EF =12; точки L и N лежат на ребрах SG и SE соответственно; SL = 3, SN = 3; точка Т — середина ребра SF. Найдите:
а) точку Yj пересечения прямой LT и плоскости EFG;

б) точку У2 пересечения прямой NT и плоскости EFG-,
в) длину отрезка Ух^2 5
г) точку пересечения прямой NT и плоскости ELF;
д) прямую пересечения плоскостей LY^2 ^ NFE;
е) отношение, в котором плоскость ДУхУг делит от¬резок SE (считая от точки S).
Вариант 1
1. В треугольнике ABC АС =12; ВС = 5. Найдите площадь треугольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону АВ, и центр описанной около треугольника окружности можно провести по крайней мере две различные плоскости;
б) через прямую АК, перпендикулярную ВС, и центр вписанной в треугольник окружности можно провести по крайней мере две различные плоскости;
в) существует прямая, не лежащая в плоскости ABC, пересекающая медиану ВМ и содержащая центр такой окружности, которая проходит через вер¬шины В, С и середину стороны АС.
2. В кубе ABCDA^B^C^Dj^ с ребром 8 точка М — се¬редина AAj; N лежит на ребре DD^\ D^N = 6. Найдите:
а) точку Хх пересечения прямой MN и плоскости АСВ;
б) точку Xg пересечения прямой MN и плоскости
в) длину отрезка XxXg;
г) точку Х3 пересечения прямой ВХ^ и плоскости DDxC;
д) отношение, в котором точка Х3 делит отрезок ЕС (считая от D);
е) общую прямую плоскостей ХхХзХз и АА^В.

Вариант 2
1. В треугольнике КМР КМ = 4, КР = 5. Найдите площадь треугольника, если:
а) через прямую, содержащую сторону КР, и центр описанной около треугольника окружности можно провести по крайней мере две различные плоскости;
б) через прямую AM, перпендикулярную КР, и центр вписанной в треугольник окружности мож¬но провести по крайней мере две различные плос¬кости;
в) существует прямая, не принадлежащая плоскос-ти треугольника, пересекающая медиану РВ и прохо-дящая через центр вписанной в треугольник КМР окружности.
2. В правильном тетраэдре ABCD все ребра имеют длину 8; М — середина AD; К — середина DB; Р ле¬жит на ребре DC; DP = 6. Найдите:
а) точку Xj пересечения прямой МР и плоскости ABC;
б) точку Xg пересечения прямой КР и плоскости ABC;
в) длину отрезка Х^Х^;
г) точку пересечения прямой МР и плоскости АКС;
д) прямую пересечения плоскостей МХ^Х и X^DC;
е) отношение, в котором плоскость MX^Xg делит отрезок DB (считая от В).

км-10-2
Взаимное расположение прямых в пространстве
Подготовительный вариант
1. В кубе EFGHE^FiGiHi точки L, N иТ — середи-ны ребер F^G^, G^H^ и Н^Н соответственно, К — точ¬ка пересечения диагоналей грани EE^PiF.
а) Заполните таблицу взаимного расположения прямых и углов между ними.
Прямые Их расположение Угол между ними
LNW.EG
Е{Г и FH
F^N и КТ
TNW.EG
FiT и KN
КЩ и LN
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью KNT, если ребро куба равно а.
2. В правильном тетраэдре ABCD ребро АВ = 7; М и К — середины ребер DB и АС соответственно. Точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 2, считая от точки С. Найдите длину отрезка прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой КМ, заключенно¬го внутри тетраэдра.
3. Пусть М — середина ребра АВ пирамиды ABCD, а точка N делит ребро АС в отношении 1 : 2, считая от вершины А. Докажите, что в плоскости грани BCD нет ни одной прямой, параллельной пря-мой MN.
3 Геометрия. 8—11 кл.

Вариант 1
1. В правильном тетраэдре ABCD точки К, F, Р, М — середины ребер AD, DC, ВС и АВ соответ¬ственно.
а) Заполните таблицу взаимного расположения прямых и углов между ними.
Прямые Их расположение Угол между ними
КРиМР
КРиВС
КРпМР
ВРиМР
КРпВС
СМ и КР
б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью KMF, если ребро тетраэдра равно а.
2. В кубе ABCDAjBjCjDj с диагональю B^D = 8 через точку К ребра В^С^, делящую его в отношении 3 : 5, считая от В^, проведена прямая, параллельная прямой B^D. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри куба.
3. Докажите, что в плоскости грани MDC пира-миды MABCD (ABCD — параллелограмм) нет ни одной прямой, параллельной прямой АР (Р — середи¬на ВС).

Вариант 2
1. В кз^е ABCDAxBjCxDj точки К яВ — середины ребер AjBx и BjCj соответственно; М я Р — точки пе-ресечения диагоналей граней A^D^DA я DCCjDj соот-ветственно.
а) Заполните таблицу расположения прямых и уг-лов между ними.
Прямые Их расположение Угол между ними
KFviMP
KMviFP
KFHBD
DCj и KF
FPHAD
MP и BjC
б) Найдите длину наибольшей стороны много-угольника, являющегося сечением куба, проходящим через точки М, РяК, если ребро куба равно а.
2. В тетраэдре ABCD все ребра которого равны 12, точка М — середина ребра BD, точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 7, считая от С. Найдите длину отрезка прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой СМ, заключенного внутри тет-раэдра.
3. Докажите, что в плоскости грани ВВуСуС приз¬мы ABCAjBjCx нет ни одной прямой, параллельной прямой АЙГ (К — середина ребра А^В^).

КМ-10-3
Взаимное расположение прямой и плоскости
Подготовительный вариант
1. В кубе все ребра которого равны
а, точка М лежит на AD; AM = х.
а) Постройте сечение, проходящее через точку М и параллельное прямым BD иА^С.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
2. В кубе ABCDA^B^CiDi точки Р, N,K,M — внут¬ренние для ребер AjBj, A^D^, DD^ и ВВ^ соответствен¬но, причем прямые РМ и NK пересекаются. Прямые NK и AD пересекаются в точке Zp прямые РМ и АВ — в точке Zg, а МК и BD — в точке Z3. Найдите длину отрезка ZgZg, если Z^Zg = 8, ZjZg = 13.
3. Равнобедренная трапеция является изображением трапеции ABCD с основаниями AD = = 10, ВС = 5. Найдите площадь трапеции A^BfC^D^, если около нее можно описать окружность с диа¬метром AjH^ и = 3.
Вариант 1
1, В правильном тетраэдре ABCD с ребром а точка М лежит на отрезке АС; МС = х.
а) Постройте сечение, проходящее через точку М и параллельное прямым DC и АВ.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.

2. В треугольной призме АВСА^В^С^ М, К, N и Р — внутренние точки ребер ВВ^, В^С^, A^Ci и соответственно, причем прямые MN и КР пересека-ются. Прямые МК и ВС пересекаются в точке Х^, прямые NP и АС — в точке Xg, а МР и АВ — в точ¬ке Х3. Найдите длину отрезка XjXg, если X^Xg = 10,
XgX3 = 12.
3. Трапеция А^В^С^В^ является изображением тра¬пеции АВСВ с основаниями АВ = 2 и CD == 8. Найди¬те площадь трапеции А^В^С^В^, если около нее мож¬но описать круг с диаметром С^В^ и А^В^ = 7б .
Вариант 2
1. В правильной треугольной призме АВСА^В^С^ все ребра равны а; L — середина А^В^; М лежит на АС; МС = л:.
а) Постройте сечение, проходящее через точку М и параллельное прямым АВ и CL.
б) Определите площадь сечения.
2. В тетраэдре АВСВ М, N и Р — внутренние точки ребер АВ, ВВ и ВС соответственно, причем прямые МР и АС пересекаются в точке У^, прямые ВХ и ВС — в точке Yg, прямые MN и АВ — в точке Yg. Найдите длину отрезка YgYg, если Y^Yg = 3, Y^Yg = 5.
3. Равнобедренная трапеция А^В^С^В^ является изображением трапеции АВСВ с основаниями АВ = 2 и СВ = 8. Найдите площадь трапеции А^В^С^В^, если в нее можно вписать круг с диаметром 9.

КМ-10-4 Параллельные плоскости
Подготовительный вариант
1. Плоскости а и Р параллельны, плоскость у пере¬секает плоскость а по прямой а, а плоскость Р — по прямой Ъ. Плоскость 5 пересекает плоскость у по прямой с. Как могут быть расположены прямые а, Ь и с?
2. В правильной треугольной призме АВСА^^В^С^ все ребра равны а. Точка М лежит на АВ, AM : MB = = 3:1, N — середина BjCj.
а) Через точку М проведите сечение, параллельное плоскости АуВС.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит от-резок AN, считая от А?
3. Прямая DF пересекает параллельные плоскости а, Р, у соответственно в точках D, Е и F, причем DF = 3, FE = 9. Прямая EG пересекает плоскости а и у соответственно в точках G и Н, причем EG = 12. Найдите все значения, которые может принимать длина GH.
Вариант 1
1. Плоскость параллельна плоскости Р^, а плос-кость а2 параллельна плоскости Pg; пересекает а2 по прямой &; Рх пересекает Р2 по прямой Ь. Как могут быть расположены прямые аиЬ?
2. Точка М лежит на ребре AjBx куба ABCDA^B^C^D^ с ребром о; В^М : А^М = 2:1.

а) Через точку М проведите сечение, параллельное плоскости AB^Cj.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит от-резок А^С, считая OTAJ?
3. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости а, Р, Y соответственно в точках А, В, С, причем АВ = 3, ВС = 7. Прямая МК пересекает плоскости а, Р, у со-ответственно в точках М, К, Р, причем МР = 10. Найдите все значения, которые может принимать длина МК.
Вариант 2
1. Прямые а и & параллельны. Прямая а параллель¬на плоскости а, прямая Ъ параллельна плоскости р. Как могут быть расположены плоскости а и Р?
2. В правильном тетраэдре ABCD, ребро которого равно а, DO — высота тетраэдра, М — середина DO.
а) Через точку М проведите сечение, параллельное плоскости BCD.
б) Найдите периметр сечения.
в) Найдите площадь сечения.
г) В каком отношении плоскость сечения делит вы¬соту тетраэдра AF, считая от А?
3. Прямая АВ пересекает параллельные плоскости а, р, Y соответственно в точках А, В, С, причем АВ = 14, ВС = 4. Прямая МК пересекает плоскости а, р, Y соответственно в точках М, К, Р, причем МР = 10. Найдите все значения, которые может при¬нимать длина МК.

КМ-10-5
Перпендикулярность прямой и плоскости
Подготовительный вариант
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны и равны. Точка М не лежит в плос¬кости четырехугольника, причем МА перпендику¬лярна этой плоскости. Известно, что МА = МС = MD. Найдите углы четырехугольника.
2. В правильной треугольной призме АВСА^В^С^ все ребра равны 2; точка М — середина ребра В^С^.
а) Докажите, что прямая B^Cj перпендикулярна плоскости АА^М.
б) Через точку пересечения диагоналей грани АА^С^С проведите прямую, перпендикулярную плос¬кости АА^М.
в) Найдите длину отрезка этой прямой, заключен-ного внутри призмы.
г) В каком отношении делит этот отрезок плос-кость АА^М?
д) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середину СМ перпендикулярно прямой СВ.
3. В правильной треугольной призме ABCA^B^Cj все ребра равны между собой; М — середина ребра СВ. Через точку N, “лежащую на А^М, A-j^N = х, X е (0; 7), проведено сечение, перпендикулярное пря¬мой AM. Как изменяется сумма внутренних углов се¬чения этой призмы плоскостью в зависимости от X, если AM = 7?

Вариант 1
1. Дан ромб ABCD, точка М не лежит в его плос-кости; AM = MB — МС; прямая DM перпендикуляр¬на плоскости ABC. Найдите углы ромба.
2. Дан куб ABCDA^B^C^D^ с ребром 2.
а) Докажите, что прямая AjCj перпендикулярна плоскости BDD^.
б) Докажите, что плоскость A^C^D перпендикуляр¬на прямой BDj.
в) Через точку К (середину C^D^) проведите пря-мую, перпендикулярную плоскости A^CxD.
г) Найдите длину отрезка этой прямой, заключен-ного внутри куба.
д) В каком отношении плоскость A^DC^ делит дан¬ный отрезок, считая от точки К?
3. В кубе ABCDAxBx^i-Oi* диагональ которого рав¬на 6, через внутреннюю точку М диагонали BD^ про¬ведено сечение, перпендикулярное этой диагонали. Как меняется сумма внутренних углов сечения в за¬висимости от X, если X = MB, х е (0; 6)?
Вариант 2
1. Дана трапеция ABCD [АВ || CD); Z ADC = 50°; точка М не лежит в плоскости трапеции; MD = МС = = MB; прямая МА перпендикулярна плоскости ABC. Найдите углы трапеции.
2. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 2 точка М — середина DB.
а) Докажите, что DB перпендикулярна плоскости АМС.
б) Через точку пересечения медиан треугольника ADC проведите прямую, перпендикулярную плоскос-ти АМС.

в) Найдите длину отрезка этой прямой, заключен-ного внутри тетраэдра.
г) В каком отношении делит этот отрезок плос-кость АМС, считая от точки М?
д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоско-стью, проходящей через середину СМ перпендику-лярно прямой АС.
3. Все ребра тетраэдра ABCD равны между собой. Через точку М, лежащую на медиане АК {АК = 6) грани ABC, проведено сечение, перпендикулярное прямой АК. Как меняется сумма внутренних углов се¬чения тетраэдра этой плоскостью в зависимости от х, если X =АМ, X € (0; 6)?
КМ-10-6 Расстояние в пространстве
Подготовительный вариант
1. Плоскость, пересекающая отрезок АВ, делит его в отношении 7 : 5, считая от точки В. Найдите рас¬стояние от точки А до плоскости, если расстояние от середины отрезка до этой плоскости равно 2.
2. Все вершины куба, кроме, может быть, двух противоположных А и Cj (лежащих на одной диагона¬ли), одинаково удалены от некоторой плоскости. Най¬дите расстояние от каждой из этих вершин (не считая А и Cj) до этой плоскости, если ребро куба равно 6. (Рассмотрите два случая.)
3. В равнобедренном треугольнике ABC АВ = ВС = = а, Z В = а. Расстояние от точки М до плоскости тре¬угольника также равно а; — проекция точки М на плоскость треугольника — является точкой пересече-ния медиан треугольника. Найдите расстояния от точки М до вершин треугольника и прямых, содер-жащих его стороны.

Вариант 1
1. Плоскость, пересекающая отрезок АВ, делит его в отношении 3 : 7, считая от А. Расстояние от середи¬ны этого отрезка до плоскости равно 4. Найдите рас¬стояние от точки В до этой плоскости.
2. Длины всех ребер тетраэдра равны 6. Все верши¬ны тетраэдра одинаково удалены от некоторой плос¬кости. Найдите расстояние от вершины тетраэдра до этой плоскости (рассмотрите два случая).
3. В ромбе АВСВ острый угол ZA = а, АВ = а. Рас¬стояние от точки М до плоскости ромба равно а; Ml — проекция точки М на плоскость ромба — лежит на отрезке АС и М^А = ЗМ^С. Найдите расстоя¬ние от точки М до вершин ромба и прямых, содержа¬щих его стороны.
Вариант 2
1. Плоскость, пересекающая отрезок АВ, делит его в отношении 2:5, считая от точки В. Найдите рас¬стояние от середины этого отрезка до плоскости, если расстояние от точки В до этой плоскости равно 10.
2. Длины всех ребер тетраэдра равны между собой. Все вершины тетраэдра одинаково удалены от некото¬рой плоскости на расстояние 6. Найдите длину ребра тетраэдра (рассмотрите два случая).
3. В ромбе АВСВ тупой угол ZA = а, АВ = а. Рас-стояние от точки М до плоскости ромба также равно а; Ml — проекция точки М на плоскость ромба — рас-
3
положена на луче АС так, что М^А = Найдите
расстояние от М до вершин ромба и прямых, содер-жащих его стороны.

КМ-10-7
Угол между прямой и плоскостью
Подготовительный вариант
1. Отрезок АС — проекция наклонной АВ на плос¬кость АСВ. Угол между лучами АС и AD равен 45°. Найдите угол между лучами АВ и AD, если угол меж¬ду прямой АВ и плоскостью АСВ равен 60°.
2. Сторона АВ прямоугольника ABCD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоско¬стью угол ф. Какой угол образует с этой плоскостью диагональ BD, если: а) BD = 2АВ; б) ВС = 2АВ?
3. Две наклонные, проведенные к плоскости, обра¬зуют с ней равные углы. Их проекции образуют угол Р, а угол между наклонными равен ф. Найдите угол между каждой из наклонных и плоскостью.
Вариант 1
1. Отрезок АС — проекция наклонной АВ на плос¬кость АСВ. Лучи АВ и АС образуют угол 30°. Най¬дите угол между прямой АВ и плоскостью АСВ, если угол между прямыми АВ и АВ равен 60°.
2. Сторона АВ треугольника ABC лежит в плоскос¬ти АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол ф. Какой угол образует с этой плоскостью сторо¬на АС, если: а) треугольник ABC — равносторонний;
б)АВ=АС, ZCAB = 90°?
3. Из одной точки к плоскости проведены две наклонные, образующие между собой угол Р, а с плос¬костью — углы, равные ф. Найдите угол между их проекциями.

Вариант 2
1. Отрезок АС — проекция наклонной АВ на плос¬кость АСВ. Угол DAB равен 45°. Найдите угол между лучами AD и АС, если угол между наклонной АВ и плоскостью DAC равен 30°.
2. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в лоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоско-стью угол ф. Какой угол образует с этой плоскостью диагональ BD, если: а) ABCD — квадрат; 6)ABCD — ромб, ZB = 120°?
3. Две наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, образуют с ней углы, равные ф. Их про-екции образуют угол р. Найдите угол между наклон-ными.
КМ-10-8 Угол между двумя плоскостями
Подготовительный вариант
1. Дан ромб ABCZ) с углом 60°. Прямая МА перпен- Д14кулярна плоскости ромба, причем АВ = AM = а. Найдите углы между плоскостями: а) AM В и ABC;
б)АМВ и AMD; в)МВС и ABC; г) MAD и МВС;
д) MDC и ВСМ.
2. Плоскости ABC и ABD образуют угол 45°. Из-вестно, что AD = 3, АВ = 5, ВС = л/2, DAA.AB, СВ ± АВ. Найдите: а) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью ABC.
3. Точка М лежит внутри двугранного угла вели-чиной 60° и удалена от его граней на расстояния 3 и 5. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.

Вариант 1
1. Дан ромб ABCD с углом А, равным 60°. Пря-мая МА перпендикулярна плоскости ромба, АВ = а, AM = 2а. Найдите углы между плоскостями: &)АМВ и ABC; 6)AMBvlAMD; В) MDC и ABC; т) MAD и МВС; ц)МВСиВСМ.
2. Угол между плоскостями ABC и ABD равен 60°, DALAB, СВ ±АВ, AD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите:
а) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью ABC.
3. Точка М лежит внутри двугранного угла величи¬ной 45° и удалена от его граней на расстояния 4 и Зл/2 . Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.
Вариант 2
1. Дан ромб ABCD с углом А, равным 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба, АВ = 2а, AM = а. Найдите углы между плоскостями: а) AM В и ABC; 6)AMBvlAMD; В) MDC И ABC; т) MAD и МВС;
д) MDC и МВС.
2. Плоскости ABC и ABD образуют угол 60°, DALAB, СВ LAB, AD = A, АВ = 3,СВ = 2. Найдите:
а) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью ABC.
3. Точка М лежит внзггри двугранного угла величи¬ной 120° и удалена от его граней на расстояния 4 и 6. Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.
КМ-10-9 Многогранные углы
Подготовительный вариант
1. Все плоские углы выпуклого многогранного уг-ла равны 85°. Какова может быть сумма всех плоских углов этого многогранного угла?

2. Точка М лежит внутри трехгранного угла с вер¬шиной К, все плоские углы которого — прямые, и удалена от его граней на расстояния 12, 16 и 21. Найдите углы, которые образует прямая КМ со всеми гранями и ребрами трехгранного угла.
3. Дан трехгранный угол ODEF, А DOE = Z DOF =

= arcsin ^, ребро OF наклонено к плоскости ODE
под углом 45°. Найдите:
а) двугранный угол при ребре OD, при условии, что он тупой;
б) угол EOF;
в) угол наклона ребра OD к плоскости OFE-,
г) угол FGH, где G — проекция точки F на плос-кость DOE, Н — проекция точки Е на плоскость DOF.
Вариант 1
1. Все плоские углы выпуклого многогранного уг¬ла равны 63°. Какова может быть сумма всех плоских углов этого многогранного угла?
2. Точка М лежит внутри трехгранного угла с вер¬шиной К, все плоские углы которого — прямые, и удалена от его граней на расстояния 3, 4 и 12. Най-дите углы, которые образует прямая КМ со всеми гранями и ребрами трехгранного угла.
3. Дан трехгранный угол ОАВС, ZAOB = ZAOC =
= arctg J2 , Z вое = 90°. Найдите:
а) двугранный угол при ребре ОА;
б) угол наклона ребра ОА к плоскости ОВС;
в) угол наклона ребра ОС к плоскости ОАВ;
г) угол ВРМ, где Р — проекция точки В на плос-кость АОС, М — проекция точки Р на плоскость АОВ.

Вариант 2
1. Все плоские углы выпуклого многогранного уг¬ла равны 50°. Какова может быть сумма всех плоских углов этого многогранного угла?
2. Точка М лежит внутри трехгранного угла с вер¬шиной К, все плоские углы которого — прямые, и удалена от его граней на расстояния 9, 12 и 8. Най-дите углы, которые образует прямая КМ со всеми гранями и ребрами трехгранного угла.
3. Дан трехгранный угол ОМРК, Z МОР = Z МОК =
= arccos ^, двугранный угол при ребре ОМ равен
120°. Найдите;
а) угол РОК;
б) двугранный угол при ребре ОР;
в) угол наклона ребра ОР к плоскости МОК;
г) угол КСЕ, где С — проекция точки К на плос-кость МОР, Е — проекция точки С на плоскость МОК.
КМ-10-10 Цилиндр и конус
Подготовительный вариант
1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R проведены два пересекающихся сечения. Найдите длину их общего отрезка, если:
а) плоскости сечений проходят через середину оси, причем одна проходит также и через хорду основа¬ния, а другая пар^лельна основанию;
б) одна плоскость проходит через диаметр АВ ниж¬него основания и касается верхнего основания в точке С, а другая проходит через диаметр CD верхнего осно¬вания и касается нижнего основания в точке А.

2. Конус с высотой 3 и радиусом основания 4 имеет с каждой из параллельных плоскостей одну общую точку. В каких пределах может изменяться расстоя¬ние между этими плоскостями?
3. Через вершину конуса проведено сечение с уг¬лом при вершине, равным 2а. Найдите угол, образуе¬мый сечением с основанием конуса, если угол при вершине осевого сечения конуса равен 2р.
4. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине и высотой Л. В конус вписан ци-линдр с образующей 0,5Л. Найдите радиус основания цилиндра, если:
а) основание цилиндра лежит на основании конуса;
б) образующая цилиндра лежит на диаметре осно-вания конуса.
Вариант 1
1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R проведены два пересекающихся сечения. Найдите длину их общего отрезка, если:
а) плоскости сечений параллельны оси цилиндра;
б) плоскости сечений проходят через середину оси и параллельные между собой хорды оснований.
2. Цилиндр с высотой 8 и радиусом основания 3 имеет с каждой из параллельных плоскостей одну об¬щую точку. В каких пределах может изменяться рас¬стояние между этими плоскостями?
3. Угол в осевом сечении конуса равен 120°. Через две образующие конуса проведено сечение под углом 60° к основанию. Найдите углы этого сечения.
4. Осевое сечение конуса — прямозтольный трезтоль- ник с гипотенузой а. В конус вписан цилиндр с ради¬усом основания г. Найдите высоту цилиндра, если:
а) основание цилиндра лежит на основании конуса;
б) образзчощая цилиндра лежит на диаметре осно-вания конуса.

Вариант 2
1. В цилиндре с высотой h и радиусом основания R проведены два сечения, образованные плоскостями, проходящими через центр нижнего и две хорды верх¬него основания. Найдите длину их общего отрезка, если;
а)хорды параллельны;
б) хорды имеют общую точку на окружности осно¬вания.
2. Цилиндр с высотой 6 и радиусом основания 4 имеет с каждой из параллельных плоскостей одну об¬щую точку. В каких пределах может изменяться рас¬стояние между этими плоскостями?
3. Через вершину конуса проведено сечение под углом 2а к основанию. Найдите углы этого сечения, если образующая конуса наклонена к основанию под углом а.
4. Осевое сечение конуса — равносторонний тре¬угольник с высотой Л. В конус вписан цилиндр с обра¬зующей I. Найдите радиус основания цилиндра, если:
а) основание цилиндра лежит на основании конуса;
б) образующая цилиндра лежит на диаметре осно-вания конуса.
КМ-10-11 Сфера и шар
Подготовительный вариант
1. Две сферы, радиусы которых равны 13 и 15, имеют общее сечение, диаметр которого равен 24. Найдите расстояние между центрами этих сфер.

2. Два шара, радиусы которых равны 1 м и 2 м, ка¬саются каждой из трех попарно перпендикулярных между собой плоскостей. Чему может быть равно рас¬стояние между центрами этих шаров?
3. а) Ребро куба равно 10. Найдите радиус шара, касаюш;егося всех ребер этого куба.
б) Все ребра треугольной пирамиды равны 4. Най-дите радиус шара, касающегося всех ребер этой пира-миды.
4. В правильной пирамиде MABCDEF МО = h — ее высота. Боковой гранью пирамиды является равно-бедренный треугольник с углом 30° при вершине. Найдите длину линии пересечения поверхности пира¬миды с поверхностью сферы, если: а) МО — радиус сферы с центром М; б) МО — диаметр сферы.
Вариант 1
1. Две сферы, радиусы которых равны 7 и 5, имеют общее сечение, диаметр которого равен 8. Найдите расстояние между центрами этих сфер.
2. Два шара, радиусы которых равны 2 м и 8 м, ка¬саются каждой из трех попарно перпендикулярных между собой плоскостей. Чему может быть равно рас¬стояние между центрами этих шаров?
3. Ребро основания правильной треугольной приз¬мы равно 6. Шар касается всех ребер этой призмы. Найдите: а) радиус шара; б) высоту призмы.
4. В правильной пирамиде MABCD высота МО рав¬на Л, а боковые грани — правильные треугольники. Найдите длину линии пересечения поверхности пира¬миды с поверхностью сферы, если: а) МО — радиус сферы с центром М; б) МО — диаметр сферы.

Вариант 2
1. Две сферы, радиусы которых равны 9 и 5, имеют общее сечение, диаметр которого равен 6. Найдите расстояние между центрами этих сфер.
2. Два шара, радиусы которых равны 3 м и 4 м, ка¬саются каждой из трех попарно перпендикулярных между собой плоскостей. Чему может быть равно рас¬стояние между центрами этих шаров?
3. Все ребра правильной шестиугольной призмы равны 8. Шар касается всех ребер этой призмы. Най-дите: а) радиус шара; б) высоту призмы.
4. В правильном тетраэдре МАВС высота МО равна Л. Найдите длину линии пересечения поверхности тетраэдра с поверхностью сферы, если:
а) МО — радиус сферы с центром М;
б) МО — диаметр сферы.
КМ-10-12
Повторение
Подготовительный вариант
1, В правильной четырехугольной пирамиде MABCD тангенс угла наклона апофемы к плоскости
основания равен J2. Точка К лежит на стороне основания АВ и делит ее в отношении 1 : 5, считая от А. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMC.
2. В правильной четырехугольной призме АВСВА^В^С^В^ ребро основания равно 15, а высота

равна 157з . Точка К лежит на ребре основания и делит его в отношении 1:4, считая от А^, а точка Р лежит на ребре основания и делит его в отно¬
шении 1:2, считая от Dj.
а) Постройте сечение призмы плоскостью ВКР.
б) Найдите величину двугранного угла В(КР)В^.
в) Найдите плош;адь сечения.
3. Ребро основания правильной пирамиды DABC
равно 6, а апофема равна Зл/З -f Точка М —
середина высоты DH пирамиды. Точка Н является центром шара, касающегося ребра АВ основания пирамиды. Найдите длину линии пересечения по-верхности пирамиды и сферической поверхности.
Вариант 1
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD плоские углы при вершине М равны 60°. Точка К лежит на стороне основания AD и делит ее в отношении 1:3, считая от А. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью ВМС.
2. Дан куб АВСВА^В^С^В^ с ребром Ъ. Точка К ле¬жит на ребре AD и делит его в отношении 1:2, счи¬тая от А; точка Р — середина ребра DC.
а) Постройте сечение куба плоскостью В^КР.
б) Найдите величину двугранного угла В^(КР)В.
в) Найдите площадь сечения.
3. Высота DH правильного тетраэдра DABC равна h и является диаметром шара. Найдите длину линии пересечения поверхности тетраэдра и сферической поверхности.

Вариант 2
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD угол наклона бокового ребра к плоскости ос-нования равен 45°. Точка К лежит на стороне основа-ния CD и делит ее в отношении 5 : 3, считая от С. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMA.
2. В правильной четырехугольной призме ABCDA^BjCjDj ребро основания равно 8 см, а высота равна 8,8 см. Точка К лежит на ребре основания AD и делит его в отношении 5:3, считая от D; Р — сере-дина ребра АВ.
а) Постройте сечение куба плоскостью С^КР.
б) Найдите величину двугранного угла С^(КР)С.
в) Найдите плош;адь сечения.
3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Точка М лежит на высоте тетраэдра СН и делит ее в отношении 1:3, считая от Н. При этом точка М является центром шара, касаюш;егося ребра АВ. Най-дите длину линии пересечения поверхности тетраэдра и сферической поверхности.

Тестовая работа
Выберите верный ответ.
1. Медиана треугольника делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника. Сколько плос¬костей можно провести через эту медиану, ортоцентр и центр тяжести этого треугольника?
А) ни одной; Б) одну; В) бесконечно много; Г) это зависит от дополнительных условий.
2. Два равнобедренных треугольника АВК и АВМ имеют общее основание АВ = 24; АК = ВК = 13; AM = ВМ = 20. Найдите сумму всех различных це¬лых значений, которые может принимать длина от¬резка МК.
А) 21; Б) 32; В) 176;
Г) таких значений бесконечно много.
3. Дан тетраэдр DABC; ВС = 10, AD = 11, Р лежит на ребре ВС, PC = 3. Через точки С, Р и В проведены параллельные плоскости а, Р и у. пересекающие пря-мую AD соответственно в точках А, L и К, причем AL = 6. Найдите DK, если L лежит на ребре AD.
А) 9; Б) 7; В) 11; Г) 0.
4. Расстояние между параллельными плоскостями а и Р равно 7, а расстояние между прямой а, прина¬длежащей а, и прямой Ь, принадлежащей Р, равно 8. Каково может быть расположение прямых а и Ь?
А) параллельны или скрещиваются;
Б) параллельны; В) скрещиваются;
Г) данная ситуация невозможна.
5. В тетраэдре DABC АС = ВС = АВ = 3; AD = 7; BD = 5. Сколько плоскостей, перпендикулярных пря-мой DC, можно провести через прямую АВ?
А) одну; Б) ни одной; В) бесконечно много;
Г) это зависит от длины ребра DC.

6. Вершины треугольника ABC удалены от плоскос¬ти а на расстояния 1,5 и 8. Сколько различных значе¬ний может принимать расстояние от точки М пересе¬чения медиан этого треугольника до плоскости а?
А) бесконечно много; В) четыре;
Б)одно; Г)три.
7. В кубе ABCDAjBjCjDi с длиной ребра 6 точка К лежит на ребре В^С^, В^К = 2, М лежит на ребре АВ, AM = 4. Найдите угол между прямыми ACj и КМ.
А) 0; В) arctg ^ ;
Б) g ; Г) верного ответа нет.
8. В тетраэдре DABC длины всех ребер равны. Рас¬стояние между прямыми DC и АВ равно 6, Р — сере¬дина ребра AD, М — середина ребра ВС. Найдите рас¬стояние между прямыми РМ и АС.
А)2л/3; Б)0; В) 3^2; Г) 3.
9. Прямая МА составляет с плоскостью ABC угол 57° и перпендикулярна прямой АВ; прямая КВ составляет с плоскостью ABC угол 47° и также пер-пендикулярна прямой АВ. Какие значения может принимать угол между прямыми МА и КВ?
A) 10° или 104°; Б) 10° или 76°;
B) значения в диапазоне от 10° до 76° включи-тельно;
Г) значения в диапазоне от 0° до 90° включительно.
10. Высота правильной четырехугольной пирами-ды MABCD равна 6 и образует с плоскостями граней углы 30°. Найдите расстояние от точки А до грани МВС.
А)373; Б) 6; В) — 5,3; Г) в условии мало данных.

11. Внутри двугранного угла, равного 60°, лежит точка, удаленная от его граней соответственно на 5 и
2. Найдите расстояние от этой точки до ребра дву-гранного угла.
А) 7; В) lOarctg ^ ;
Б) 2 лДЗ ; Г) верного ответа нет.
12. Точка М лежит внутри куба ABCDA^Bf^^Di. Прямая AM составляет с плоскостями АА^В^ и ABC углы 30° и 45° соответственно. Какой угол составляет эта прямая с плоскостью ADAj?
А) arcsin ^ ; Б) 45°; В) arctg |; Г) 30°.
тх 2я
1о. Два плоских угла трехгранного угла равны
и 2 . Сколько целых значений может принимать тре-тий плоский угол?
А) ни одного; Б) 120; В) 3; Г) сколько угодно.
14. Прямая МК лежит внутри трехгранного угла с вершиной М, все плоские углы которого прямые, и составляет со всеми его гранями равные углы. Най-дите величину этих углов.

А) arctg л/2 ; Б) 60°; В) arccos -g-; Г) верного ответа нет.
15. Угол в развертке конуса равен 108°. Как распо¬ложен относительно данного конуса центр описанно¬го около этого конуса шара?
A) лежит на основании конуса;
Б) лежит внутри конуса;
B) совпадает с вершиной конуса;
Г) лежит вне конуса.

16. Найдите отношение диаметров вписанного и описанного около цилиндра шаров.
17. На поверхности сферы взяты три окружности, каждая из которых проходит через точки А и В, ле- жаш;ие на сфере, и имеет длину Юл. Найдите диаметр сферы.
А) любое число, большее 10; В) 10;
Б) 5; Г) верного ответа нет.
18. Четыре сферы радиуса 6 расположены так, что каждая из них касается трех остальных. Найдите рас¬стояние от плоскости, касаюш;ейся трех таких сфер, до центра четвертой сферы.
Г) в условии мало данных.
В) 0,5;
А) 476 +6; Б) 8;
В) 476 -6;
Г) верного ответа нет.

Решебник Звавич Геометрия 9 класс, часть 2

9 класс
КМ-9-1
Векторы
Подготовительный вариант
1. В параллелограмме ABCD АВ = 2 см, ВС = 5 см, ZABC= 112°.
а) Постройте этот параллелограмм с помощью ли-нейки, транспортира, циркуля.
б) Постройте вектор DE = 0,5ВС — ЗАВ.
в) Измерьте длину вектора DE.
г) Измерьте угол между векторами DE и DA.
2. В трапеции ABCD (ВС || AD) ВС = 2, AD = 5,0 — точка пересечения диагоналей. Найдите такое число X, если оно существует, что:
а)Аб = л:-ОС; б)Ш = х-Ш; в)Ш = х -Ш;
г) ОК = X • AD, где К лежит на стороне CD и ОК II AD.
3. Векторы а и 5 не коллинеарны; с = 2а — ЗЬ; d = Аа + хЪ. Найдите все такие действительные числа X, что: _
а) векторы end коллинеарны;

б) векторы 2а — 5& и с — 2d коллинеарны;
в) разложите вектор а по векторам & и с.
4. В треугольнике ABC АВ = СВ = 10, АС = 12. Разложите по векторам АВ и ВС:
а) вектор ВР (ВР — биссектриса);
б) вектор АН (АН — высота);
в) ОР (О — центр вписанной окружности).
Вариант 1
1. В параллелограмме ABCZ) АВ = 5 см, ВС = 4 см, ZABC= 143°.
а) Постройте этот параллелограмм с помощью из-мерительных приборов (линейки, транспортира, цир¬куля).
б) Постройте вектор СР = -2АВ + 0,5DA.
в) Измерьте длину вектора СР.
г) Измерьте угол между векторами СР и ВС.
2. В трапеции ABCD (ВС IIAD) ВС = 4, AD = 6, О — точка пересечения диагоналей, М — середина ВС, К — середина AD, F — точка пересечения прямых АВ и CD. Найдите такое число х (если оно существует), что:
а) АО = л: • ОС; в)Ш = х • Ш;
б) ВО = л: • АС; _ г) РО = л: • FM.
3. Векторы а и & не коллинеарны; с = За — 7Ь; d = X • а + ЗЬ. Найдите все такие действительные чис¬ла X, что:
а) векторы end коллинеарны;
б) векторы За -I- 8Ь и 5с — 6d коллинеарны.
в) Разложите вектор а по векторам с и &.
4. В треугольнике ABC АВ = СВ = 10, АС = 8. Раз¬ложите по векторам АВ и ВС:
а) вектор AF (AF — биссектриса);
б) вектор СН (СН — высота);
в) ОВ (О — центр описанной окружности).

Вариант 2
1. В параллелограмме ASCZ) АВ = 4 см, ВС = 3 см, ZABC = 134°.
а) Постройте параллелограмм с помощью измери-тельных приборов (линейки, транспортира, циркуля).
б) Постройте вектор ДР = -0,5АВ + 2ВС.
в) Измерьте длину вектора DP.
г) Измерьте угол между векторами DP и DC.
2. В трапеции АВСВ (ВС II AD) BC = 6,AD = 8,0 — точка пересечения диагоналей, М — середина ВС, К — середина АВ, F — точка пересечения прямых АВ и СВ. Найдите такое число х (если оно существу¬ет), что:
а)Ш = х-Ш; в)Ш = х-Ш;
б)АО = х • BD;_ v)FO = x-FK.
3. Векторы а и & не коллинеарны; с = х • а — 5Ь; d = 7 • а + 2Ъ. Найдите все такие действительные числа X, что:
а) векторы end коллинеарны;
б) векторы 5а — АЬ и_с + 7d коллинеарны.
в) Разложите вектор Ъ по векторам avid.
4. В треугольнике ABC АВ = СВ =12, АС = 10. Разложите по векторам АС и СВ:
а) вектор AF (AF — биссектриса);
б) вектор СН (СН — высота);
в) ОВ (О — центр описанной окружности).
КМ-9-2 Скалярное произведение векторов
Подготовительный вариант
1. Даны векторы а и & такие, что |а| = 2, |&| = 3, Z(a, Ь)=_60°. Найдите:
а) а • Ь; б) (2а — ЗЪ) • &; в) |2а — 3b\j,
г) косинус угла между векторами 2а- ЗЬ и Ь;

д) значение числа х, при котором длина вектора р = X • а + Ь наименьшая.
2. В прямоугольник ABCD АВ = 2, AD = 6, точка Е такова, что АЕ • АВ = 6, АЕ • AD = -12.
а) Разложите вектор АЕ по векторам АВ и AD.
б) Разложите вектор АВ по векторам АЕ и AD.
в) Как расположены прямые АЕ и BD7
3. В трезтольник ABC (АВ = 5, АС = 8, ВС = 7) впи¬сана окружность, К — точка касания этой окружнос¬ти со стороной АС. Найдите^
а) разложение вектора ВС по векторам АВ и АС;
б) скалярное произведение векторов АВ и АС;
в) величину угла А;
г) длину вектора ВК;
д) разложение вектора ВК по векторам АВ и АС.
Вариант 1
1. Дано: И = 3, 1^ = 4, Z (а; &) = 120°. Найдите:
а) а • &; б) (а — 2Ъ) • Ъ; в) \а —
г) косинус угла между векторами а — 2Ь и Ь;
д) значение числа х, при котором длина вектора р = X • а+ Ь~ наименьшая.
2. В прямозтгольнике ABCD АВ = 2, AD = 3, точ¬ка F такова, что АЁ • АВ = -4, АЕ • АР = 6^
а) Разложите вектор AF по векторам АВ и ВС.
б) Разложите вектор AD по векторам АЕ и АВ.
в) Как расположены прямые BD и АЕ?
3. В треугольник ABC, у которого АВ = 5, АС = 8, ВС = 7, вписана окружность, Е» — точка касания этой окружности со стороной АС. Найдите:
а) разложение вектора ВС по векторам АВ и АС;
б) скалярное произведение векторов АВ и АС;
в) величину зтглаА;
г) длину вектора ВК;
д) разложение вектора ~ВК по векторам АВ и АС.

Вариант 2
1. Дано: 1о| = 272 ,_1^ = 6, Z (а; &) = 135°. Найдите:
а) а • Ь; б) (а — 5Ь) • Ь; в) |а — бЦ;
г) косинус угла между векторами а-ЪЪяЪ;
_ д2 значение числа х, при котором длина вектора р = а + X • Ь наименьшая.
2. В прямоугольнике ABCD АВ = 4, AD = 5, точка Р такова, что АР • АВ = -8, АР • AD = 25.
а) Разложите вектор АР по векторам АВ и AD.
б) Разложите вектор ВР по векторам АС и BD.
в) Как расположены прямые BD и СР?
3. В треугольник ABC, у которого АВ = 5, АС = 3, ВС = 7, вписана окружность, М — точка касания этой окружности со стороной АВ. Найдите:
а) разложение вектора ВС по векторам АВ и АС;
б) скалярное произведение векторов АВ и АС;
в) величину угла А;
г) длину вектора СМ;
д) разложение вектора СМ по векторам АВ и АС.
КМ-9-3 Метод координат на плоскости
Подготовительный вариант
1. Точки А, В, С яО заданы своими координатами: А(-5; 3), В(3; 1), С(8; 9), D(-2; -7). Найдите расстоя¬ние между серединой отрезка ВС и точкой, делящей отрезок AD в отношении 1 : 2, считая от А.
2. Известны координаты вершин параллело-грамма ABCD: А(-2; 3); В(-1; 4); D(9; 1). Найдите координаты вершины С.
3. Даны векторы: р{-5; 12}, д{10; 24}, ‘?{х; 3}.
Найдите:
а) косинус угла между векторами р и д;

б) такое число х, что векторы риг коллинеарны;
в) такое число х, что вектор q перпендикулярен вектору ?; _ _ _
г) значение х, при котором длина вектора р — q — г наименьшая.
4. Даны вершины треугольника ABC: А(-3; -5), В(2; 7), С(5; 1). Найдите:
а) длины его сторон;
б) косинус меньшего угла;
в) площадь треугольника ABC;
г) координаты точки пересечения медиан.
5. а) Даны точки А(1; 1), В(5; 2). Найдите все точки С оси абсцисс, для которых треугольник ABC — пря¬моугольный.
б) Даны точки А(2; 1), В(3; 6). Найдите все точки С оси ординат, для которых треугольник ABC — равно¬бедренный.
Вариант 1
1. Даны точки А(-1; 3), В(7; -11), С(-7; 5), В(8; 12). Найдите расстояние между серединой отрезка АВ и точкой, делящей отрезок CD в отношении 1:3, счи¬тая от С.
2. Известны координаты вершин параллелограм-ма MATPQ: М(1; -5); ЛГ(2; -6); Р(3; 3). Найдите коор-динаты вершины Q.
3. Даны векторы m{3; -4}, п{12; 5}, г{х; 1}. Най-дите:
а) косинус з^ла между векторами тип;
б) такое число х, что т Ц г;
в) такое число х, что п Аг;
г) значение х, при котором длина вектора т — п + г наименьшая.

4. Даны вершины треугольника А(-5; 3), В(-1; 6) и С(7; -2). Найдите;
а) длины его сторон;
б) косинус меньшего угла;
в) площадь треугольника ABC;
г) координаты точки пересечения медиан.
5. Даны точки К{1; 3), Р(5; 4). Найдите все такие точки В оси абсцисс, что треугольник КРВ — равно-бедренный.
Вариант 2
1. Даны точки А(1; 3), В(-7; 11), С(0; 5), В(8; 13). Найдите расстояние между серединой отрезка АВ и точкой, делящей отрезок CD в отношении 2 : 3, счи-тая от С.
2. Известны координаты вершин параллелограмма MNPQ (вершины взяты по порядку обхода): М(3; -2), N{2; -6), Р(-4; 2). Найдите координаты вершины Q.
3. Даны векторы тп{4; -3}, п{5; 12}, г{2; л:}. Найди¬те:
а) косинус угла между векторами тип;
б) такое число х, что т || г;
в) такое число х, что п А г;
г) значение х, при котором длина вектора т — п — г наименьшая.
4. Даны вершины треугольника А(6; 3), В(2; 6) и С(8; -2). Найдите:
а) длины его сторон;
б) косинус большего угла;
в) площадь треугол^рника ABC;
г) координаты точки пересечения медиан.
5. Даны точки Е(1; 3), Р(3; 7). Найдите все такие точки В оси ординат, что треугольник КРВ — прямо¬угольный.

км-9-4
Уравнения линий на плоскости
Подготовительный вариант
Даны точки М(1; 2) и N{-3; 4),
1. Напишите обш;ее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN\
а) с угловым коэффициентом; б) в отрезках.
3. Напишите уравнение:
а) прямой KF, параллельной MN и проходяш;ей че-рез точку К{-2‘, -1), и укажите какую-либо точку F этой прямой, отличную от К;
б) прямой OQ, проходяш;ей через начало координат и перпендикулярной MN.
4. Вычислите:
а) плош;адь треугольника MNF;
б) расстояние между прямыми KF и MN.
5. Для каждого числа i? > О определите взаимное расположение окружности (д; 4- 4) 4- (р -Н 1) = R и прямой MN.
6. Найдите геометрическое место точек Р таких, что: а) МР = NP; б) ЗМР = NP; в) МР^ + NP^ = 40.
Вариант 1
Даны точки М(1; 1) и N{2; -2).
1. Напишите обш;ее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN:
а) с угловым коэффициентом; б) в отрезках.
3. Напишите уравнение:
а) прямой KF, параллельной MN и проходяш;ей че-рез точку К(3; -3), и укажите какую-либо точку F этой прямой, отличную от К;
б) прямой OQ, проходяш;ей через начало координат и перпендикулярной MN.

4. Вычислите:
а) площадь треугольника MNF;
б) расстояние между прямыми KF и MN.
5. Для каждого числа R > О определите взаимное расположение окружности (л; — 2)^ + (у — 10)^ =
и прямой MN.
6. Найдите геометрическое место точек Р таких, что: а) МР = NP; б) МР = 2NP; в) МР^ + NP^ = 20.
Вариант 2
Даны точки М(1; 1) и N(4; -1).
1. Напишите общее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN:
а) с угловым коэффициентом;
б) в отрезках.
3. Напишите уравнение:
а) прямой KF, параллельной MN и проходящей че-рез точку К{3; -3), и укажите какую-либо точку F этой прямой, отличную от К;
б) прямой OQ, проходящей через начало координат и перпендикулярной MN.
4. Вычислите:
а) площадь треугольника MNF;
б) расстояние между прямыми KF и MN.
5. Для каждого числа R > О определите взаимное расположение окружности (л; 4- 1)^ + (у + 2)^ = R^ и прямой MN.
6. Найдите геометрическое место точек Р таких, что:
а) МР = NP;
б) NP = 2МР;
в) MP^ + NP^ = 17.

км-9-5
Длина окружности и площадь круга
Подготовительный вариант
1. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, на 5 больше стороны вписанного в нее квадрата. Найдите площадь правильного шестиуголь¬ника, описанного около этой окружности.
2. На основании равностороннего треугольника со стороной а как на диаметре построена полуокруж-ность, рассекающая треугольник на две части. Най-дите площадь той части треугольника, которая лежит вне полукруга.
3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересека-ются в точке О, АВ = 1 см, А ОАВ = 60°. Найдите площадь и периметр фигуры, которая получается при пересечении кругов, описанных около треугольников АВО и вое.
Вариант 1
1. Дана окружность радиуса 12 см. Найдите:
а) сторону правильного описанного треугольника;
б) периметр правильного вписанного четырехуголь¬ника;
в) площадь правильного описанного шестиуголь-ника.
2. В круге из одной точки окружности проведены две хорды под углом 90° друг к другу. Найдите пло¬щадь части круга, заключенной между ними, если длина каждой хорды равна 4 см.
3. К двум окружностям, радиусы которых равны 8 см, проведены общие внешние касательные. Найди-те площадь и периметр полученной фигуры, если рас¬стояние между центрами окружностей равно 16 см.

Вариант 2
1. Дана окружность радиуса 6 см. Найдите:
а) сторону правильного вписанного треугольника;
б) периметр правильного описанного четырехуголь¬ника;
в) площадь правильного вписанного шестиуголь-ника.
2. В круге из одной точки окружности проведены две хорды, составляющие угол 120°. Найдите пло¬щадь части круга, заключенной между ними, если длина каждой хорды равна 4 см.
3. Две окружности, радиусы которых равны
4^2 см, имеют общую хорду длиной 8 см. Найдите периметр ограниченной этими окружностями фигуры и расстояние между центрами окружностей.
КМ-9-6 Движения плоскости
Подготовительный вариант
1. Найдите координаты образа точки А(2; -3) при:
а) центральной симметрии относительно точки М(0; 3);
б) осевой симметрии относительно прямой у = -1;
в) повороте на угол 90° вокруг начала координат в направлении по часовой стрелке.
2. Параллельный перенос переводит точку (2; -1) в точку (3; 1). Напишите уравнение образа кривой
р р
X + у = 4х при этом переносе.
3. Существует ли выпуклый пятиугольник, диаго¬наль которого лежит на его оси симметрии?

4. Нарисуйте неравнобедренный треугольник ABC. Движение G плоскости таково, что оно меняет ориен¬тацию, а прямая АВ остается неподвижной. Укажите на рисунке какие-либо образы точки С.
5. Даны два равных ромба ABCD и МРКЕ, причем М является точкой пересечения диагоналей BD и АС, а С — точкой пересечения диагоналей РЕ и МК. Ука¬жите:
а) центральную симметрию, переводящзпо данные ромбы один в другой;
б) осевую симметрию, переводящую эти ромбы один в другой;
в) параллельный перенос, переводящий ромб ABCD в ромб МРКЕ.
Вариант 1
1. Найдите координаты образа точки А(-1; 2) при:
а) центральной симметрии относительно точки М(2; -5);
б) осевой симметрии относительно прямой х = 2;
в) повороте на угол 120° вокруг начала координат в направлении против часовой стрелки.
2. Найдите уравнение образа окружности х^ + + — 4х + 8у = 5 при параллельном переносе на век-тор с координатами {-2; 3}.
3. Нарисуйте неравнобедренный треугольник ABC. Движение G плоскости таково, что оно меняет ориен¬тацию, а точки А и В остаются неподвижными. Ука¬жите на рисунке какой-либо образ точки С.
4. Сколько осей симметрии имеет правильный 754-угольник?
5. Две окружности с центрами А и В касаются друг друга в точке М — середине отрезка АВ. Ука-жите:

а) центральную симметрию, переводящую эти ок-ружности одна в другую;
б) осевую симметрию, переводящую эти окружнос¬ти одна в другую;
в) параллельный перенос, переводящий окруж-ность с центром А в окружность с центром В;
г) какой-либо поворот на угол 60°, переводящий окружность с центром В в окружность с центром А.
Вариант 2
1. Найдите координаты образа точки А(3; -5) при:
а) центральной симметрии относительно точки М(1; 7);
б) осевой симметрии относительно прямой г/ = -2;
в) повороте на угол 120° вокруг начала координат в направлении по часовой стрелке.
2. Найдите уравнение образа окружности + + 6х — Ау = 3 при параллельном переносе на вектор с координатами {5; -3}.
3. Нарисуйте неравнобедренный треугольник ABC. Движение плоскости G таково, что прямая АВ непо¬движна и G(A) = В, и оно не меняет ориентацию. Ука¬жите на рисунке какой-либо образ точки С.
4. Сколько осей симметрии имеет правильный 175-угольник?
5. Даны два квадрата АВСВ и РСМК. Укажите:
а) центральную симметрию, переводящую квадра-ты один в другой;
б) осевую симметрию, переводящую квадраты один в другой;
в) параллельный перенос, переводящий квадрат АВСР в квадрат РСМК;
г) какой-либо поворот на угол 90°, переводящий квадрат РСМК в квадрат АВСВ.

км-9-7
Повторение
Подготовительный вариант
1. Длины сторон параллелограмма равны 15 см и 13 см, а одна из его высот равна 12 см. Найдите (рас¬смотрев все слзшаи): а) площадь параллелограмма;
б) диагонали параллелограмма.
2. Треугольник ABC, у которого АС = 6, Z А = 75°, ZB = 30°, вписан в окружность. Найдите длины дуг окружности, концами которых являются вершины треугольника.
3. Три окружности, имеющие радиусы 1, 2 и 3, по¬парно касаются друг друга внешним образом. Найди¬те радиус окружности, проходящей через центры дан¬ных окружностей.
4. В треугольнике ABC известно, что АВ = 15, ВС = 14, АС = 13, а медиана АА^ пересекает биссект¬рису ВВ^ в точке Р. Найдите площадь А^ВВ^С.
Вариант 1
1. В треугольнике ABC высоты АА^ и ВВ^ равны соответственно 3 и 5, а угол между прямыми, содер-жащими эти высоты, равен 60°. Рассмотрев два слу-чая, найдите: а) площадь треугольника; б) высоту СС^.
2. В окружность радиуса 10 вписан треугольник MNF, у которого ZM = 80°, ZN = 40°. Биссек¬триса угла М пересекает окружность в точке Р, биссектриса угла N — в точке Q. Найдите длину PQ.
3. Три равные окружности, радиусы которых рав¬ны 87З , попарно касаются друг друга. Найдите ради¬ус окружности, касающейся этих трех окружностей.
4. В треугольнике ABC АВ = 6, ВС = 5, АС = 4. Медиана ВВ^ пересекает биссектрису АА^ в точке Q. Найдите площадь четырехугольника A^QB^C.

Вариант 2
1. В треугольнике ABC высоты СС^ и ВВ^ равны
соответственно 2j2 и 4, а угол между прямыми, со-держащими эти высоты, равен 45°. Рассмотрев два случая, найдите:
а) площадь треугольника;
б) третью высоту.
2. В окружность радиуса 6 вписан треугольник MNF, у которого ZF = 40°, ZN = 20°. Биссектриса угла F пересекает окружность в точке L, биссектриса угла N — в точке Е. Найдите длину отрезка LE.
3. Центры четырех равных окружностей радиуса 2 находятся в вершинах квадрата со стороной 4. Найди¬те радиус окружности, касающейся всех этих четы¬рех окружностей.
4. В треугольнике АБС АВ = 3, ВС = 2, АС = 4. Медиана ВВ^ пересекает биссектрису СС^ в точке Q. Найдите площадь четырехугольника AB^QC^.
КМ-9-8 Итоговое повторение
Подготовительный вариант
1. Точки А, В, С яВ лежат на окружности радиуса R (в данном порядке при обходе по часовой стрелке). Дуги DCB и СВА равны по 80°, а дуга DCA равна 100°. Найдите углы четырехугольника ABCD я длину от¬резка ВС.
2. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотену¬зе АВ проведена высота CN, Площадь треугольника ACN равна 6 см^, а площадь треугольника BCN — 54 см . Найдите стороны треугольника ABC и ради¬усы вписанной и описанной окружностей.

3. в прямоугольнике ABCD AD :АВ = 5:3. На сто¬ронах АВ, ВС, CD и DA выбраны точки Е, F, М и Р соответственно так, что АР : PD = 2:3, а EFMP — ромб. Найдите отношение площадей прямоугольника и ромба.
4. Отрезок СН — биссектриса треугольника. Точки F и D — основания перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АС и ВС соответственно;
АС = 2 ВС, А АСВ = 60°, ЯВ = 14 73 . Найдите сторо-ны треугольника.
5. В прямоугольную трапецию с острым углом а вписана окружность радиуса R. Найдите площадь трапеции.
Вариант 1
1. На окружности радиуса R последовательно отме¬чены точки А, B,CHD так, что величины дуг АВ и ВС равны соответственно 50° и 80°, а диагонали четырех¬угольника ABCD равны между собой. Найдите длину наибольшей стороны четырехугольника.
2. Отрезок СН — высота прямоугольного треуголь¬ника ABC (Z С = 90°); НЕ = ЗНК, где НЕ и НК — бис¬сектрисы треугольников ВСЯ и АСЯ соответственно,
АВ = 2 Тб . Найдите площадь треугольника ABC.
3. На двух сторонах прямого угла с вершиной М выбраны точки D и К соответственно так, что MD: МК = 7. На биссектрисе DMK взята точка Е, равноудаленная от D и К. Определите длину отрезка DK, если ME = 4.
4. Отрезок СМ — биссектриса треугольника ABC. Точки К и Р — основания перпендикуляров, опущен¬ных из точки М на стороны треугольника АС и ВС со¬

ответственно; ВС = |аС, Z ВСА = 60°, МК = 2. Най¬дите отношение плош;адей треугольников MCA и ВМС и длину стороны АВ.
5. Трапецию можно вписать в круг, радиус которо¬го в |V7 раз больше радиуса круга, вписанного в эту же трапецию. Найдите все углы данной трапеции.
Вариант 2
1. На окружности радиуса г последовательно отме¬чены точки К, М, N и Q так, что величины дуг КМ и MN равны соответственно 40° и 100°, а хорды KN и MQ пересекаются под углом 70°. Найдите длину на¬ибольшей стороны четырехугольника KMNQ.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) проведена высота СН. Отрезки AM и СР — медианы треугольников АСН и НСВ соответственно, причем ЗАМ = 4СР. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если его плош;адь равна 96.
3. Угол ABC — прямой, АВ = 4, ВС = 3. Найдите расстояние от В до точки К, лежаш;ей на биссектрисе прямого угла, если точка К равноудалена от А и С.
4. В остроугольном треугольнике ABC высоты АА^ = 2, СС^ = 4, BN — биссектриса треугольника,
AN = I. Найдите длину отрезка NC и плош;адь тре-угольника ABC.
5. В прямоугольную трапецию вписана окруж-ность. Точки касания этой окружности со сторонами трапеции являются вершинами четырехугольника, площадь которого в 4 раза меньше площади трапе-ции. Чему равен наименьший угол трапеции?

Вариант 3
1. Для четырех точек плоскости Л, D, FuN выпол¬няется соотношение AN — 4AD — 3AF. Докажите, что точки D, N я F принадлежат одной прямой. Найдите ND, есля NF = 12.
2. На боковой стороне трапеции выбрана точка, де- ляпдая эту сторону в отношении 3:1, считая от вер¬шины меньшего основания. Прямая, проходяпдая че¬рез эту точку параллельно основаниям, делит пло- пдадь трапеции в отношении 2:1, считая от меньшего основания. В каком отношении делит плопдадь трапе¬ции ее средняя линия?
3. Окружность радиуса R касается катета РМ пря¬моугольного треугольника MPN в точке М, а также касается катета PN и пересекает гипотенузу треуголь¬ника, деля ее в отношении 4:1, считая от вершины М. Найдите радиус окружности, вписанной в тре¬угольник MPN.
4. В полукруг диаметра d помещены две равные ка¬сающиеся друг друга окружности. Определите длину одной такой окружности, если каждая из двух ок¬ружностей касается также диаметра полукруга и его дуги.
5. Докажите, что геометрическое место точек, сум¬ма квадратов расстояний от которых до вершин квад¬рата равна сумме квадратов его диагоналей, есть опи¬санная около этого квадрата окружность. (Возможно использование координатного метода.)

Вариант 4
1. Для четырех точек плоскости Л, В, С и D выпол¬няется соотношение 50В = ОА -Ь 40С. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите ВС, если АВ = 24.
2. На боковой стороне CJD трапеции ABCD выбраны точки М и L так, что СМ = ML = LD, а на стороне АВ выбраны точки N иР так, что АР = PN = NB. Отноше¬ние площадей четырехугольников BNMC и APLD равно 1:3. Чему равно отношение оснований AD и ВС трапеции?
3. В треугольнике ADF стороны AD и DF равны. Окружность касается основания треугольника в точ-ке А, касается также стороны DF, а сторону AD пере-секает в точке М такой, что AM : MD = 3. Найдите длину основания треугольника ADP.
4. Две окружности, радиусы которых равны г и 0,5г, касаются внутренним образом в точке D. Отре-зок DP — диаметр окружности большего радиуса. Найдите радиус третьей окружности, если она касает¬ся двух данных окружностей и отрезка DP.
5. Докажите, что геометрическое место точек, сум¬ма квадратов расстояний от которых до сторон квад¬рата в 1,5 раза больше площади этого квадрата, есть вписанная в этот квадрат окружность. (Возможно ис¬пользование координатного метода.)

Тестовая работа
Выберите верный ответ.
1. Найдите больший угол треугольника, если вели¬чины его углов образуют арифметическую прогрес¬сию с разностью 15°.
А) 80°; Б) 60°; В) 75°; Г) 105°.
2. Два угла треугольника равны 58° и 26°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла.
А) 18°; Б) 16°; В) 120°; Г) 164°.
3. Стороны треугольника равны 13 и 5. Какое на¬именьшее целое значение может принимать периметр этого треугольника?
А) 36; Б) 19; В) 18; Г) 27.
4. Вписанный в окружность угол величиной 40° опирается на дугу длиной 16. Найдите длину окруж-ности.
А) 164; Б) 2л; В) 72; Г) 16л.
5. Точка, лежапдая внутри прямоугольника, отсто¬ит от его сторон на 1, 8, 9, 5 (стороны берутся по по¬рядку). Найдите площадь прямоугольника.
А)120; Б)130; В)112; Г)126.
6. Диагонали трапеции образуют прямой угол и каждая из них равна 8. Найдите площадь трапеции.
А) 64; Б) 32; В) 8л; Г) 16.
7. Угол между апофемами, проведенными к двум соседним сторонам правильного многоугольника, ра¬вен 10°. Найдите число сторон многоугольника.
А) 72; Б) 18; В) 36; Г) 20.

8. Средняя линия отсекает от треугольника трапе¬цию, плопдадь которой равна 30. Какова площадь все¬го треугольника?
А) 60; Б) 40; В) 90; Г) 20.
9. Одна из сторон вписанного в окружность пяти¬угольника является диаметром окружности, а осталь¬ные стороны равны между собой. Найдите угол меж¬ду равными сторонами.
А) 120°; Б) 135°; В) 105°; Г) 45°.
10. Одна из сторон прямоугольника в 7 раз больше другой. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 10.
А) 21; Б) 50; В) 70; Г) 14.
11. Стороны трапеции равны 2, 2, 2, 4. Найдите сумму тупых углов трапеции.
А) 270°; Б) 240°; В) 200°; Г) 100°.
12. В окружность вписан треугольник со сторона-
5 12 13 „ „ ми -, — , —. Наидите длину окружности.
А) 13л; Б) 20; В) 13; Г) 7п.
13. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 16 и 9. Найдите сумму длин катетов.
А) 40; Б) 25; В) 8; Г) 35.
14. Два прямоугольных треугольника с катетами 5 и 12 имеют общую гипотенузу. Найдите расстояние между вершинами прямых углов этих треугольни¬ков, если прямая, проходящая через эти две различ¬ные точки, не параллельна и не перпендикулярна ги-потенузе треугольников.
A)f?; Б) 13; В) 2; Г) 7.

15. Основания трапеции равны 2 и 4. Диагональ тра¬пеции разбивает ее на два треугольника, площадь боль¬шего из которых равна 8. Найдите площадь трапеции.
А) 20; Б) 10; В) 14; Г) 12.
16. Сколько диагоналей у выпуклого семиуголь-ника?
А) 21; Б) 7; В) 14; Г) 28.
17. В треугольнике ABC ВВ^ — медиана, АВ^ = = ВВ^ = ВС. Найдите меньший угол треугольника.
А) 45°; Б) 30°; В) 20°; Г) 90°.
18. Дано: |о| = 3; Щ = 4, Z (а; Ъ) = 120°. Найдите |а-2^.
А) J79; Б) 7; В) 7^; Г) 5.
19. Найдите координаты образа точки А(-55; 1) при повороте на 180° вокруг точки В(2; 7).
А)(1;-55); Б)(59;3); В) (13; 59); Г) (59; 13).
20. Найдите длину линии, заданной уравнением х^ + х + у^ = 0.
А) 2л; Б) л; В)|; Г) 1.
21. Вставьте пропзчценное: «Для того чтобы вы-пуклый четырехугольник был параллелограммом, …, чтобы диагональ делила его на два равных тре-угольника».
А) необходимо; В) необходимо и достаточно;
Б) достаточно; Г) не необходимо и не достаточно.

Решебник Звавич по геометрии 8-11 Класс, часть 1

1. В треугольнике ABC ZА = 34°, ZC = 66°. Бис-сектрисы треугольника АЙГ и ВМ пересекаются в точ¬ке О. Найдите остальные углы четырехугольника МОКС.
2. В треугольнике ABC Z С = 58°. АК и ВМ — вы-соты треугольника. Какие значения может прини-мать величина угла между прямыми, содержащими данные высоты?
3. Длина отрезка ВС равна 8 см. Точка А лежит на прямой ВС, но не принадлежит отрезку ВС, причем 5АВ = АС. Точка D принадлежит отрезку ВС и 4ВС = = ВС. Найдите длину отрезка AD.
4. В треугольнике ABC проведена биссектриса ВК, Прямая МК параллельна ВС и пересекает сторону АВ в точке М, Z ВМК = 124°. Найдите величину угла
мкв.
5. Сколько существует неравных между собой прямо¬угольных треугольников со стороной 4 см и углом 45°?

Вариант 1
1. В треугольнике ABC ZA = 2f°, АВ — 98°. Бис-сектрисы треугольника АЛ^ и ВК пересекаются в точ¬ке Т. Найдите углы четырехугольника МТКС.
2. Прямые, содержащие высоты МА и РВ тре-угольника МРН, образуют угол 56°. Какие значения может принимать величина угла РНМ7
3. Длина отрезка АВ равна 8 см. Точка С лежит на прямой АВ, причем АС = ЗСВ. Найдите длину отрезка АС (рассмотрите все случаи).
4. Треугольник ABC — равнобедренный (АВ = ВС), ZB = 24°, СР — биссектриса треугольника, РК па¬раллельна ВС и пересекает сторону АС в точке К. Найдите угол КРС.
5. Сколько существует неравных между собой равно¬бедренных трезтольников со стороной 5 см и углом 30°?
Вариант 2
1. В треугольнике ABC Z А = 56°, ZB = 88°. Высо-ты треугольника AM и ВК пересекаются в точке Т. Найдите углы четырехугольника МТКС.
2. Прямые, содержащие биссектрисы МА и РВ тре¬угольника МРН, образуют угол 82°. Какие значения может принимать величина угла РНМЧ
3. Длина отрезка МК равна 10 см. Точка Р лежит на прямой МК, причем 4МР = РК. Найдите длину от-резка МР (рассмотрите все случаи).
4. Треугольник ABC — равнобедренный (АВ = ВС), Z С = 72°, АР — биссектриса треугольника, РК парал¬лельна АВ и пересекает сторону ДС в точке К. Найди¬те угол КРА.
5. Сколько существует неравных между собой прямо¬угольных треугольников со стороной 5 см и углом 60°?

КМ-8-2
Параллелограмм
Подготовительный вариант
1. Нарисуйте с помощью линейки какой-нибудь неравнобедренный треугольник. Попытайтесь затем дорисовать его до параллелограмма так, чтобы дан-ный треугольник являлся одним из четырех тре-угольников, на которые параллелограмм разбивается его диагоналями. Сколько параллелограммов может при этом получиться?
2. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пе¬ресекает сторону AD в точке М так, что AM в 4 раза больше MD. Найдите длины сторон параллелограм¬ма, если его периметр 36 см.
3. Один из углов параллелограмма ABCD в 5 раз больше другого, а диагональ BD является высотой, причем BD = 5 см. Найдите длину стороны CD.
4. а) Даны параллелограммы ABCD и CDMN с об¬щей стороной CD. Точки В и N лежат по разные сто¬роны от прямой CD; ABCD = 38°, А ABN = 82°, Z DCN = 52°, NM = 9 см. Периметр ABCD равен 28 см. Докажите, что ABNM — параллелограмм, и найдите его углы и периметр.
б) Даны параллелограммы ABCD и CDMN с общей стороной CD. Точки В и N лежат по одну сторону от прямой CD; Z BCD = 137°, ABNM =163°, ADCN = = 47°, NM = 10 CM. Периметр ABCD равен 46 см. Дока¬жите, что ABNM — параллелограмм, и найдите его углы и периметр.
Вариант 1
1. Диагональ параллелограмма делит его на тре-угольники, два угла одного из которых равны 43° и 57°. Найдите все значения, которые может прини¬мать величина тупого угла параллелограмма.

2. В параллелограмме ABCD диагонали пересека¬ются в точке О. Периметр треугольника ОВС на 6 см больше периметра треугольника OCD. Сторона ВС пе¬ресекает биссектрису угла BAD в точке М так, что ВМ : МС = 5:3. Найдите стороны и периметр АВСВ.
3. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой и равна половине стороны АВ. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD, если AD = 8.
4. Даны параллелограммы ABCD и CDMN с общей стороной CD. Точки В я N лежат по разные стороны от прямой CD, причем Z BCD = 23°, Z DCN = 37°, ВС = CN. Периметр ABCD равен 5 м. Точки А, В, N не лежат на одной прямой. Докажите, что ABNM — параллелограмм, и найдите его углы и периметр.
Вариант 2
1. Диагональ параллелограмма делит его на тре-угольники, два угла одного из которых равны 13° и 117°. Найдите все значения, которые может прини-мать величина тупого угла параллелограмма.
2. В параллелограмме ABCD диагонали пересека¬ются в точке О. Периметр треугольника ОВС на 8 см меньше периметра треугольника OCD. Сторона DC пе¬ресекает биссектрису угла BAD в точке М так, что DM : МС = 3:4. Найдите стороны и периметр АВСВ.
3. Диагональ ВВ параллелограмма ABCD является его высотой, опущенной на АВ, и равна половине сто¬роны АВ. Найдите расстояние между прямыми АВ и СВ, если ВС = 4.
4. Даны параллелограммы АВСВ и CDMN с общей стороной СВ. Точки В ж N лежат по одну сторону от прямой СВ, причем Z BCD — 132°, Z NCD = 72°, ВС = CN. Точки А, В, N не лежат на одной прямой. Периметр АВСВ равен 23 см. Докажите, что ABNM — параллелограмм, и найдите его углы и периметр.

КМ-8-3 Частные виды параллелограмма. Трапеция
Подготовительный вариант
1. В равнобедренной трапеции ABCD длина боко¬вой стороны 4 см, а меньшего основания — 5 см. Най¬дите величины углов трапеции и ее периметр, если ве¬личина угла между высотой трапеции и ее боковой стороной равна 30°.
2. Найдите длину стороны ромба, если его высота равна 7 см, а величина угла между стороной ромба и одной из диагоналей равна 15°.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки М, N, Т и К являются соответственно серединами сторон АВ, ВС, CDviAD. Известно, что NK — биссектриса уг¬ла MNT. Докажите, что MN = NT = ТК = КМ.
4. Трапеция ABCD — равнобедренная, MviN — се¬редины ее боковых сторон АВ и CD соответственно. Диагональ АС пересекает отрезок MN в точке К, МК = 3, KN = 5. Диагональ BD пересекает MN в точ¬ке Р. Высота трапеции равна 8.
Найдите:
а) длину отрезка КР;
б) величину угла ADB;
в) отношение DP : РВ.
Вариант 1
1. Длины сторон трапеции равны а, а, а и 2а. Най¬дите величины углов трапеции.
2. Сторона ромба равна 8 см. Найдите его высоту, если угол между стороной ромба и одной из диагона¬лей равен 75°.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки М, N, Т, Н являются соответственно серединами сторон

АВ, ВС, CD и AD. Угол NTH — прямой. Докажите, что MT = NH.
4. В треугольнике ABC АВ = ВС, АС = 4, высота ВН равна 6 (точка Н лежит на отрезке АС). Точка М — середина ВС, точка К лежит на стороне АС и угол МКС — прямой. Отрезки AM и ВН пересекаются в точке Q.
Найдите:
а) длину отрезка МК;
б) величину угла. AM К;
в) отношение AQ : AM.
Вариант 2
1. Длины боковых сторон трапеции равны 2а и 2а, а длины оснований равны 5а и 7а. Найдите величины углов трапеции.
2. В прямоугольнике ABCD диагональ BD равна 6 см и образует со стороной AD угол 15°. Найдите рас¬стояние от вершины С до диагонали BD.
3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Отрезок МК параллелен стороне АС и пересекает АВ в точке К, МР параллельна АВ и пересекает АС в точ¬ке Р. Докажите, что прямые AM и КР перпендику¬лярны.
4. В треугольнике ABC АС = 6, высота ВН = 6 (точ¬ка Н лежит на отрезке АС), АН = 2НС, М — середина АВ, Р — середина ВС. Точки К ч Т лежат на стороне АС так, что углы КМР и МРТ — прямые. Отрезки АР и ВН пересекаются в точке Q.
Найдите:
а) длину отрезка МК;
б) величину угла между прямыми КР и МТ;
в) отношение AQ : QP.

КМ-8-4 Площади фигур
Подготовительный вариант
1. Площадь параллелограмма равна 56 см^. Найди¬те длины высот параллелограмма, если его стороны равны 7 см и 14 см.
2. В равнобокой трапеции ABCD (AD || ВС) диаго¬наль АС является биссектрисой угла А. Известно, что ZB = 150°, AD = Ъ, ВС = а. Найдите площадь трапе¬ции.
3. В прямоугольном треугольнике KMN медиана NP = 10 см, а его площадь равна 280 см^. Найдите рас¬стояние от середины катета NK до гипотенузы КМ.
4. Точки К я Р делят большее основание AD трапе¬ции ABCD на три равные части. Площадь треугольни¬ка ВКР равна 2. Найдите площадь трапеции, если из¬вестно, что AD в 3 раза длиннее ВС.
5. Два равных прямоугольника ABCD и MNKP расположены так, что вершиной одного из них явля-ется точка пересечения диагоналей другого, и наобо-рот. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех то-чек данных прямоугольников, если длины сторон прямоугольника равны 4 и 6.
Вариант 1
1. В параллелограмме ABCD АВ — 8, ВС = 10. Меньшая высота параллелограмма равна 4. Найдите площадь параллелограмма и его большую высоту.
2. В прямоугольной трапеции МТРК диагональ МР является биссектрисой прямого угла ТМК. Най-дите площадь трапеции, если длины ее оснований ТР и МК соответственно равны 5 и 11.

3. в прямоугольном треугольнике ABC медиана СМ равна 12 см, а расстояние от середины катета АС до гипотенузы АВ равно 3 см. Найдите площадь тре-угольника.
4. Площадь трапеции ABCD равна 1; М — середи¬на основания ВС; К — середина боковой стороны CD. Найдите площадь четырехугольника АМСЛГ.
5. Два равных квадрата АВСВ и МРКТ расположе¬ны так, что точка Р делит диагональ BD в отношении ВР : PD = 2:1, а точка D лежит на диагонали РТ. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек данных квадратов, если длина стороны каждого квад¬рата равна 3.
Вариант 2
1. В параллелограмме АВСВ СВ = 6, ВС = 14. Боль¬шая высота параллелограмма равна 7. Найдите пло¬щадь параллелограмма и его меньшую высоту.
2. В равнобедренной трапеции МТРК боковые сто¬роны МТ и РК лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Найдите площадь трапеции, если длины ее оснований равны 7 и 17.
3. В прямоугольном треугольнике ABC медиана СМ равна 8 см, а расстояние от середины катета АС до гипо¬тенузы АВ равно 2 см. Найдите площадь треугольника.
4. Точки К VI М делят диагональ ВВ трапеции ABCD на три равные части. Площадь треугольника СКМ равна 1. Найдите площадь трапеции, если ее ос-нование АВ в 2 раза длиннее ВС.
5. Два равных прямоугольных треугольника с пло¬щадью 12 расположены так, что вершина прямого уг¬ла одного из них лежит на гипотенузе другого, и они имеют общую биссектрису прямого угла, длина кото¬рой равна 3. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек данных треугольников.

КМ-8-5 Теорема Пифагора. Формула Герона
Подготовительный вариант
1. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 3 и 6. Найдите:
а) гипотенузу;
б) площадь треугольника;
в) высоту, опущенную на гипотенузу.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника боль¬ше одного из катетов на 2. Найдите длины сторон тре¬угольника, если его периметр равен 40.
3. В равнобедренной трапеции ABCD длина боко¬вой стороны равна 10 см, меньшего основания — 4 см, а высоты — 6 см. Найдите площадь трапеции.
4. Длины сторон параллелограмма равны 17 и 15, а одна из диагоналей равна 8. Найдите высоты парал¬лелограмма.
5. Сторона и высота ромба соответственно равны 25 см и 24 см. Найдите длины диагоналей ромба.
6. Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15.
Вариант 1
1. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 5 и 3. Найдите:
а) гипотенузу;
б) площадь треугольника;
в) высоту, опущенную на гипотенузу.
2. Диагональ прямоугольника больше одной из его сторон на 4. Найдите эту диагональ, если периметр прямоугольника равен 28.

3. в равнобокой трапеции ABCD боковая сторона АВ равна 13, а основания равны 7 и 31. Найдите пло¬щадь трапеции.
4. Стороны параллелограмма имеют длины 13 и 5. Одна йз его диагоналей равна 12. Найдите расстояние между прямыми, содержащими меньшие стороны па¬раллелограмма.
5. Периметр ромба равен 52 см. Диагональ ромба отсекает от него треугольник с периметром 36 см. Найдите высоту ромба.
6. Найдите площадь треугольника со сторонами 13, 20 и 21.
Вариант 2
1. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 2 и 7. Найдите:
а) гипотенузу;
б) площадь треугольника;
в) высоту, опущенную на гипотенузу.
2. Диагональ прямоугольника больше одной из его сторон на 1. Найдите эту диагональ, если периметр прямоугольника равен 34.
3. В прямоугольной трапеции ABCD большая боко¬вая сторона АВ равна 25, а основания равны 2 и 26. Найдите площадь трапеции.
4. Стороны параллелограмма имеют длины 24 и 25. Одна из его диагоналей равна 7. Найдите расстоя-ние между прямыми, содержащими меньшие сторо-ны параллелограмма.
5. Периметр ромба равен 40 см. Диагональ ромба отсекает от него треугольник с периметром 36 см. Найдите высоту ромба.
6. Найдите площадь треугольника со сторонами 9, 10 и 17.

КМ-8-6 Подобие треугольников
Подготовительный вариант
1. Сторона АС треугольника ABC разделена на три отрезка точками D ч Е так, что AD : DE : ЕС = = 3:5:7. Точка F делит сторону АВ в отношении 1 : 7, считая от А. Какую часть площади треугольни¬ка ABC составляет площадь треугольника FDE1
2. Известны длины сторон треугольника ABC: АВ = 6, СА = 7, ВС = 5. На луче ВС выбрана такая точка F, что угол BAF равен углу АСВ. Найдите сторо¬ны треугольника ACF.
3. Высота АН прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу ВС в отношении 9 : 16. Найдите длины катетов, если длина высоты равна 12.
4. Биссектриса AM параллелограмма ABCD пере¬секает диагональ BD в точке Р, а биссектриса CN пересекает диагональ BD в точке Т. Какую часть BD составляет отрезок РТ, если ВМ : МС = 2:3?
5. Треугольники ABC и МКР таковы, что три угла и две стороны одного из них равны трем углам и двум сторонам другого, но треугольники не равны. Извест¬но, что АВ = 16, АС = 25. Какие значения может принимать длина стороны ВС?
Вариант 1
1. В треугольнике ABC точка М — середина сторо¬ны АС, точка Т делит сторону АВ в отношении 2:3, считая от А, точка К делит сторону ВС в отношении 3:5, считая от В. Найдите отношение площадей тре¬угольников МТК чАВС.
2. Известны длины сторон треугольника ABC: АВ = 5, СА = 8, ВС = 9. На луче АВ выбрана такая точ¬

ка К, что угол КСА равен углу ABC. Найдите стороны треугольника КВС.
3. Высота ВК прямоугольного треугольника ABC делит гипотенузу АС в отношении 3:4. Найдите пло- ш;адь ABC, если его меньший катет равен 9.
; -4. Биссектриса АК параллелограмма ABCD пересе¬кает диагональ BD в точке Р. Отношение ВР : PD = = 2 : 7. В каком отношении точка К делит сторону ВС?
5. Треугольники ABC и МКР таковы, что три угла и две стороны одного из них равны трем углам и двум сторонам другого, но треугольники не равны. Извест¬но, что АВ = 27, ВС = 36. Чему может быть равна АС?
Вариант 2
1. В треугольнике ABC точка D — середина сторо¬ны ВС, точка R делит сторону АВ в отношении 1 : 2, считая от А, точка Q делит сторону ВС в отношении 2:5, считая от В. Найдите отношение площадей тре¬угольников RDQ я ABC.
2. Известны длины сторон треугольника ABC: АВ = = 4, АС = 8, ВС = 6. На отрезке ВС выбрана такая точ¬ка D, что угол BAD равен углу АСВ. Найдите стороны треугольника ADC.
3. В прямоугольном треугольнике ABC высота СН делит гипотенузу АБ в отношении 2:3. Найдите пло¬щадь ABC, если его больший катет равен 9.
4. Биссектриса DN параллелограмма ABCD пересе¬кает диагональ АС в точке К, которая делит АС в отно¬шении 5 : 3, считая от А. Найдите отношение BN : NC.
5. Треугольники ABC и МКР таковы, что три угла и две стороны одного из них равны трем углам и двзш сторонам другого, но треугольники не равны. Извест¬но, чтоАБ = 6, ВС = 4. Какие значения может прини¬мать АС?

КМ-8-7 Подобие многоугольников
Подготовительный вариант
1. Прямая, параллельная одной из сторон паралле¬лограмма, делит его на два подобных параллелограм¬ма. Найдите их коэффициент подобия, если известно, что прямая делит сторону данного параллелограмма в отношении 5:3.
2. В треугольнике ABC точка М принадлежит сто¬роне АВ, точка N — стороне ВС. Отрезки АЛГ и СМ пе¬ресекаются в точке Р. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке В. Какую часть АС составляет отрезок АВ, если AM :МВ = 3: 5 HNC:BN = 3:2?
3. В треугольнике ABC точка К — середина сторо¬ны АВ, точка F делит сторону ВС в отношении 3:1, считая от В. Прямая KF пересекает луч АС в точке М. Найдите отношение МС : СА.
4. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекают¬ся в точке К. Пловцадь треугольника АВК равна 24, а ВС : AD = 1:4. Найдите плош;адь трапеции.
5. Для выпуклых пятиугольников ABCDE и AjBj^CjBjBj имеют место соотношения ZA = ZAj,
/ п — / п АВ _ ВС _ CD _ DE _ АЕ ^
1 и в^С^ CiBj
кажите, что данные пятиугольники подобны.
Вариант 1
1. Прямая, проходявцая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, отсекает от него подоб¬ный ему параллелограмм. Найдите отношение сторон данного параллелограмма.
2. В треугольнике ABC известно, что АВ : АС = = 2:5. Медиана ВМ пересекает биссектрису АЙГ в точ¬ке Т. Прямая СТ пересекает сторону АВ в точке Р. Найдите отношение АР : РВ.

3. Точка Р делит сторону АВ треугольника ABC в отношении 3 : 7, считая от А. В каком отношении прямая СР делит медиану ВМ7
4. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекают¬ся в точке М. Площади треугольников МВС и MAD равны соответственно 3 и 27. Найдите:
а) отношение оснований ВС чАВ;
б) площадь трапеции.
5. Для выпуклых четырехугольников ABCD и AiBiCiDi имеют место соотношения ZA = ZA^,
ZB-ZB,. ZC-ZC,, ZD-ZD^ н — 2^ •
Докажите, что данные четырехугольники подобны.
Вариант 2
1. Прямая, параллельная одной из сторон паралле¬лограмма со сторонами 4 и 10, делит его на два подоб¬ных (но не равных) параллелограмма. Найдите их ко¬эффициент подобия.
2. В треугольнике MNK NP — медиана, МТ — биссектриса, NP пересекается с МТ в точке О. Пря¬мая КО пересекает сторону MN в точке С. Найдите от-ношение MN : МК, если МС : CN =7:3.
3. Точка N делит медиану ВК треугольника ABC в отношении 12 : 5, считая от вершины В. В каком от-ношении прямая CN делит сторону АВ?
4. Диагонали АС и BD трапеции пересекаются в точке О. Площади треугольников СВО и AOD равны соответственно 5 и 45. Найдите:
а) отношение оснований ВС и AD;
б) площадь трапеции.
5. В выпуклых четырехугольниках ABCD и Aj^BjCjBj^ имеют место соотношения Z А = Z А^ и
АВ ^ ВС ^ CD ^ АР
AjBj BjCi CjBi AjBi’
Докажите, что данные четырехугольники подобны.

КМ-8-8
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Подготовительный вариант
1. В прямоугольном треугольнике ABC катеты АС и СВ равны соответственно 7 и 24. Вычислите зна¬чения:
а) тригонометрических функций угла ВАС;
б) тригонометрических функций угла АМС, где СМ : MB = 1 : 3;
в) тригонометрических функций угла DCA, если Z BCD = 30°.
2. В прямоугольной трапеции ABCD меньшее осно¬вание и высота имеют длину Ъ, а величина угла меж¬ду высотой и боковой стороной равна (3. Найдите пе¬риметр трапеции.
3. В ромбе острый угол равен а, а высота равна Л. Найдите длины диагоналей ромба.
4. Пусть а — острый угол, такой, что tg а = j. Используя прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, вычислите tg |.
Вариант 1
1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза АВ = 13, катет АС = 12. Вычислите значения:
а) тригонометрических функций угла ВАС;
б) тригонометрических функций угла ВМС, где ВМ — медиана;
в) тригонометрических функций угла КСА, где СК — биссектриса.

2. Острый угол параллелограмма равен ф, а одна из его диагоналей равна h и является высотой паралле¬лограмма. Найдите периметр параллелограмма.
3. Угол при вершине равнобедренного треугольни¬ка равен а, высота, опзпценная на его боковую сторо¬ну, имеет длину т. Найдите длину основания.
4. Используя равнобедренный прямоугольный тре¬угольник, найдите tg 22,5°.
Вариант 2
1. В прямоугольном треугольнике ABC даны кате¬ты СВ = 8, АС = 6. Вычислите значения:
а) тригонометрических функций утла ABC;
б) тригонометрических функций угла ВАС, где AD — медиана;
в) тригонометрических функций угла ТСА, где СТ — биссектриса.
2. В равнобедренной трапеции ABCD ВС — мень¬шее основание, ВС = а. Найдите периметр трапеции, если известно, что острый угол равен а, а высота тра¬пеции равна меньшему основанию.
3. Угол при вершине равнобедренного треуголь-ника равен ф, длина основания равна Ъ. Найдите высоту треугольника, проведенную к боковой сто-роне,
4. Используя прямоугольный треугольник с углом 30°, найдите tg 15°.

КМ-8-9
Теоремы синусов и косинусов
Подготовительный вариант
1. Вычислите:
-0,4tg 43° • cos 90° + 6tg 150° + 2sin 120° +
+ 4cos 150° — 2ctg 135°.
2. Одна из сторон треугольника равна 2, а два его угла равны 45° и 60°. Найдите все значения, которые может принимать площадь треугольника.
3. В треугольнике ABC точка D принадлежит от-резку АВ и делит его в отношении 2:1, считая от А, DB = 4:,CD = 6, ВС = 5. Найдите:
а) косинус утла В;
б) длину АС;
в) площадь треугольника ABC.
4. В ромбе ABCD Z DBC = р. Точка F лежит на сто¬роне DC, причем угол ABF в 4 раза больше угла FBC. Найдите длину отрезка BF, если периметр ромба ра¬вен 8q.
Вариант 1
1. Вычислите:
cos 120° — 32sin’* 150° + 2cos 90° • sin 156° — 2tg 135°.
2. Одна из сторон треугольника равна 1, а два его угла равны 30° и 135°. Найдите все значения, кото¬рые может принимать площадь треугольника.
3. В треугольнике ABC АВ = 3, АС = , ВС = 5.
Найдите:
а) косинус угла В;
б) длину медианы СМ;
в) площадь треугольника ABC.

4. В ромбе ABCD Z ВАС = а; точка К лежит на сто¬роне ВС так, что угол ВАК равен половине угла KAD. Найдите длину отрезка АК, если длина диагонали АС равна а.
Вариант 2
1. Вычислите:
4sin 120° — 32sin® 150° + 2cos 90° • sin 172° + 3tg 135°.
2. Одна из сторон треугольника равна 1, а два его угла равны 45° и 120°. Найдите все значения, кото¬рые может принимать площадь треугольника.
3. В треугольнике ABC АВ = 4, ВС = Vl3 , АС = 3. Найдите:
а) косинус угла А;
б) длину медианы СМ;
в) площадь треугольника ABC.
4. В ромбе ABCD Z ВАС = а; точка К лежит на сто¬роне ВС так, что угол DAK в 3 раза больше угла КАВ. Найдите длину отрезка АК, если периметр ромба ра¬вен 2р.
КМ-8-10
Окружность
Подготовительный вариант
1. Две хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке N так, что DN = 16,5, NC = 14, а AN на 10 больше, чем NB. Найдите длину хорды АВ и ради¬ус окружности, если ON = 13 (О — центр окружности).
2. Каждая из двух окружностей, имеющих ради-усы 25 и 26, проходит через концы отрезка длиной 48. Чему может быть равно расстояние между центра¬ми этих окружностей?

3. Две взаимно перпендикулярные прямые имеют общую точку О. Окружности радиусов 1 и 5 касаются обеих прямых. Чему может быть равно расстояние между центрами этих окружностей? (Рассмотрите все возможные случаи их взаимного расположения.)
4. В окружность диаметра 10J2M вписан шести-угольник, у которого одна сторона равна 10 м, а все остальные равны между собой. Найдите углы этого шестиугольника.
5. К двум окружностям, касающимся друг друга внешним образом, проведены две общие внешние ка-сательные NF и TL (N, F, Т, L — точки касания, при-чем N и Т — точки меньшей окружности), образую-щие угол 60°. Радиус большей окружности равен 6. Найдите: а) радиус меньшей окружности; б) длину хорды NT.
Вариант 1
1. Две хорды АВ и CD пересекаются в точке М так, что AM = 6, MB = 4, а DM на 10 больше, чем МС. Найдите длину хорды DC и радиус окружности, если ОМ = 5(0 — центр окружности).
2. Через концы отрезка длиной 6 проходит каждая из двух окружностей, имеющих радиусы 4 и 5. Чему может быть равно расстояние между центрами этих окружностей?
3. Две взаимно перпендикулярные прямые имеют общую точку О. Окружности, радиусы которых рав¬ны 2 и 6, касаются обеих прямых. Чему может быть равно расстояние между центрами этих окружнос¬тей? (Рассмотрите все возможные случаи.)
4. В окружность вписан двенадцатиугольник, две соседние стороны которого равны радиусу, а десять остальных сторон равны между собой. Найдите углы этого многоугольника.

5. Две окружности с радиусами 2 см и 8 см каса-ются друг друга внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные NF и TL {N, F, Т, L — точки касания, причем N яТ — точки меньшей окружности), имеющие общую точку Р. Найдите:
а) длину отрезка NF;
б) длину хорды NT;
в) расстояние от Р до центра большей окружности.
Вариант 2
1. Две хорды АВ и CD пересекаются в точке М так, что AM = 12, MB = 3, а DM на 16 больше, чем МС. Найдите длину хорды DC я радиус окружности, если ОМ = 8 (О — центр окружности).
2. Через концы отрезка длиной 6 проходит каждая из двух окружностей, имеющих радиусы 7 и 5. Чему может быть равно расстояние между центрами этих окружностей?
3. Две взаимно перпендикулярные прямые имеют общую точку О. Окружности, радиусы которых рав¬ны 3 и 4, касаются обеих прямых. Чему может быть равно расстояние между центрами этих окружнос¬тей? (Рассмотрите все возможные случаи.)
4. В окружность вписан десятиугольник, две сосед¬ние стороны которого равны радиусу, а восемь осталь¬ных сторон равны между собой. Найдите углы этого многоугольника.
5. Две окружности с радиусами 1 см и 9 см каса-ются друг друга внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные NF я TL (N, F, Т, L — точки касания, причем N я Т — точки меньшей окружности), имеющие общую точку Р. Найдите:
а) длину отрезка NF;
б) длину хорды NT;
в) расстояние от Р до центра большей окружности.

КМ-8-11
Вписанные и описанные окружности
Подготовительный вариант
1. Прямоугольник, одна сторона которого вдвое больше другой, разрезали на два треугольника и из них сложили параллелограмм. При этом одна из ди-агоналей параллелограмма равна большей стороне прямоугольника, а другая его диагональ равна 4. Одна из сторон параллелограмма равна меньшей сто¬роне прямоугольника. Вычислите площадь паралле-лограмма.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) расстояние от центра вписанной окружности до вершины меньшего угла.
3. Около треугольника ABC с углами 50° и 66° опи¬сана окружность. Найдите углы треугольника, вер¬шинами которого являются точки пересечения каса¬тельных к окружности в точках А, В и С.
4. В равнобедренную трапецию с боковой стороной 13 и высотой 12 вписана окружность. Найдите:
а) основания трапеции;
б) радиус вписанной окружности;
в) диагональ;
г) радиус описанной окружности.
5. В треугольнике ABC ZA = 35°, Z С = 65°, длина биссектрисы BL равна 3 м. Используя микрокальку-лятор, найдите с точностью до 0,1:
а) периметр треугольника ABC;
б) радиус описанной около треугольника ABC ок-ружности;
в) площадь треугольника ABC.

Вариант 1
1. Квадрат разрезали на два трезтольника, из кото¬рых сложили параллелограмм с разными диагоналя¬ми. Найдите площадь этого параллелограмма, если его большая диагональ равна 5.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) расстояние от центра вписанной окружности до вершины наименьшего угла.
3. В треугольник с углами 50° и 70° вписана ок-ружность. Найдите зтлы треугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сто-ронами треугольника.
4. В равнобедренную трапецию с основаниями 1 и 9 вписана окружность. Найдите:
а) боковую сторону;
б) радиус вписанной окружности;
в) высоту;
г) диагональ;
д) радиус описанной окружности.
5. В треугольнике ABC Z А = 26°, Z В = 59°. Длина биссектрисы утла С треугольника равна 8,2 см. Используя микрокалькулятор, найдите с точностью до 0,1:
а) длину стороны АВ;
б) радиус описанной окружности;
в) площадь треугольника.

Вариант 2
1. Ромб разрезали по его меньшей диагонали, рав¬ной 12, и из получившихся треугольников сложили параллелограмм, который не является ромбом и име¬ет периметр 44. Найдите площадь этого параллело¬грамма.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 7. Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б) радиус описанной окружности;
в) расстояние от центра вписанной окружности до вершины наименьшего угла.
3. В треугольник с углами 72° и 96° вписана ок-ружность. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сто-ронами треугольника.
4. В равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8 вписана окружность. Найдите:
а) боковую сторону;
б) радиус вписанной окружности;
в) высоту;
г) диагональ;
д) радиус описанной окружности.
5. В треугольнике ABC ZA = 56°, ZC = 85°. Длина биссектрисы треугольника, проведенной из угла В, равна 4,8 см. Используя микрокалькулятор, найдите с точностью до 0,1:
а) длину стороны АС;
б) радиус описанной окружности;
в) площадь треугольника.